Bài toán:
An, Bình, Chi cùng đến quán giải khát, mỗi người chỉ chọn trà hoặc cà phê. Giữa ba người tồn tại ba quy tắc:

  1. Nếu An gọi cà phê thì Bình sẽ gọi theo Chi.
    Nghĩa là khi An chọn cà phê, ta bắt buộc có: Bình = Chi.
  2. Nếu Bình gọi cà phê thì An sẽ gọi khác Chi.
    Nghĩa là khi Bình là cà phê, ta có: An ≠ Chi.
  3. Nếu Chi uống trà thì An gọi theo Bình.
    Nghĩa là khi Chi là trà, ta có: An = Bình.

Ta cần tìm xem ai là người luôn luôn gọi một loại duy nhất, bất kể các điều kiện còn lại diễn ra như thế nào.

I. Chiến lược phân tích

Ta phải kiểm tra xem có người nào mà dù mọi quan hệ logic thay đổi thế nào, lựa chọn đồ uống của họ vẫn bị “khóa cứng” (không thể thay đổi).
Phương pháp hiệu quả nhất là dùng phản chứng: giả sử người đó có thể chọn hai cách khác nhau, và chứng minh một trong hai cách luôn dẫn đến mâu thuẫn.

Người có quan hệ điều kiện mạnh nhất là An, vì cả ba điều kiện đều liên quan trực tiếp đến An. Do đó ta phân tích từ An, và tìm xem có thể hay không An gọi cà phê.

II. Giả sử An gọi cà phê: phân tích toàn bộ hệ quả

Giả sử:

  • An = cà phê.

Theo điều kiện (1):

  • Khi An gọi cà phê ⇒ Bình = Chi.

Hãy xét hai trường hợp Bình (và Chi) có thể nhận: cà phê hoặc trà.

Trường hợp A: Bình = Chi = cà phê

  • Vì Bình là cà phê ⇒ theo điều kiện (2), An phải ≠ Chi.
    Nhưng ở đây:
    • An = cà phê
    • Chi = cà phê
      ⇒ Mâu thuẫn trực tiếp với điều kiện (2).

Do đó trường hợp Bình = Chi = cà phê là bất khả thi.

Trường hợp B: Bình = Chi = trà

Ta kiểm tra điều kiện (3):

  • Chi = trà ⇒ An = Bình.

Nhưng:

  • Bình = trà
  • An hiện ta giả sử = cà phê

Điều kiện (3) yêu cầu An = trà, trái ngược với giả thiết An = cà phê.

Do đó trường hợp Bình = Chi = trà cũng mâu thuẫn.

III. Kết luận từ hai trường hợp

Khi giả sử An = cà phê, mọi khả năng kéo theo đều dẫn đến mâu thuẫn.
Như vậy:

An không bao giờ có thể gọi cà phê.

Điều này có nghĩa:

An luôn luôn phải gọi trà.

IV. Phân tích ngược lại: nếu An = trà thì các điều kiện đều cho phép tồn tại nghiệm

Giả sử An = trà. Ta chỉ cần kiểm tra xem hệ điều kiện có mâu thuẫn hay không:

  • Nếu Bình = cà phê ⇒ An ≠ Chi theo điều kiện (2) ⇒ Chi phải là trà.
    Điều này thỏa mãn vì Chi = trà ⇒ điều kiện (3) yêu cầu An = Bình. Nhưng vì Bình = cà phê, An = trà, điều kiện (3) chỉ kích hoạt khi Chi = trà. Ở đây Chi = trà thật, nên ta phải kiểm tra: điều kiện (3) yêu cầu An = Bình. Nhưng điều kiện này lại xung đột với điều kiện (2) nếu Bình = cà phê. Vì vậy, trong cấu hình Bình = cà phê, Chi = trà, An = trà sẽ vi phạm điều kiện (3). Vì vậy Chi không thể là trà. Chi phải là cà phê để tránh kích hoạt điều kiện (3). Khi Chi = cà phê, điều kiện (3) không kích hoạt, và mọi điều kiện còn lại đều thỏa. Khi đó ta có một cấu hình hợp lệ:
    An = trà, Bình = cà phê, Chi = cà phê.
  • Nếu Bình = trà ⇒ điều kiện (2) không kích hoạt. Chi có thể là trà hoặc cà phê:
    • Nếu Chi = trà ⇒ điều kiện (3) yêu cầu An = Bình ⇒ An = trà. Khớp.
      Cấu hình hợp lệ: An = trà, Bình = trà, Chi = trà.
    • Nếu Chi = cà phê ⇒ không kích hoạt điều kiện (3).
      Cấu hình hợp lệ: An = trà, Bình = trà, Chi = cà phê.

Tất cả các cấu hình trên đều hợp lệ và không mâu thuẫn.

Điều này chứng minh An = trà là hoàn toàn khả thi, và An không thể nhận giá trị nào khác.

V. Kết luận cuối cùng

  • Chỉ có An là người luôn nhận đúng một loại đồ uống, bất kể Bình và Chi chọn gì.
  • Và loại đồ uống đó là: trà.

Bình và Chi có thể thay đổi giữa trà và cà phê tùy hoàn cảnh; còn An thì không thể thay đổi, vì chỉ khi chọn trà thì hệ điều kiện mới không tự mâu thuẫn.