Bài toán:
Một đại đội hành quân theo một hàng dài 50 m. Đại đội chuyển động thẳng đều với vận tốc v.
Người lính cuối hàng chạy với vận tốc không đổi u (lớn hơn v), chạy lên đầu hàng rồi chạy trở lại cuối hàng.
Khi anh trở lại cuối hàng thì đại đội đã đi được đúng 50 m.
Hỏi người lính đã chạy bao nhiêu mét?

Lời giải:

Gọi thời gian người lính chạy là t.
Trong thời gian đó, đại đội đi được 50 m nên:
t = 50 / v.

Quãng đường từ cuối hàng lên đầu hàng là 50 m.
Trong lúc người lính chạy lên, đại đội cũng đi về phía trước.
Vận tốc đuổi kịp giữa người lính và đại đội là u − v.
Vì vậy thời gian chạy lên là:
t1 = 50 / (u − v).

Khi chạy từ đầu về cuối hàng, khoảng cách cũng là 50 m.
Lúc này người lính chạy ngược lại còn cuối hàng tiến lên, nên vận tốc rút ngắn là u + v.
Thời gian chạy xuống là:
t2 = 50 / (u + v).

Tổng thời gian người lính chạy bằng tổng t1 + t2:
50 / (u − v) + 50 / (u + v) = 50 / v.

Chia hai vế cho 50 ta được:
1 / (u − v) + 1 / (u + v) = 1 / v.

Quy đồng và rút gọn phương trình trên ta thu được:
u = v(1 + căn 2).

Quãng đường người lính chạy là:
S = u * t
= v(1 + căn 2) * (50 / v)
= 50(1 + căn 2).

Giá trị gần đúng:
S ≈ 120,7 m.

Kết luận:
Người lính đã chạy khoảng 120,7 mét