1. • Theo giả thiết, By song song với AC, và M thuộc tia By.
   • Do đó, BM song song với AC.
   • P là trung điểm của AB.
   • Xét △ABM và △ACP: Không cần thiết.
2. Xét đường MP và tứ giác ABMQ:
3. • P là trung điểm của AB.
   • BM song song với AC, hay BM song song với AQ (vì Q nằm trên AC).
   • Xét △ABQ và △MBA: Không cần thiết.
4. Xét △ABQ và đường MP:
5. • P là trung điểm của AB.
   • BM song song với AQ.
   • Xét △QCA và △QMB:
   • • BM//AC.
     • Do đó, ∠MQB=∠AQC (Không đúng, Q nằm trên AC).
6. Sử dụng định lý Thales (hoặc đường trung bình):
7. • Xét hình thang ABMC (với BM//AC). P là trung điểm AB.
   • Đường MP cắt AC tại Q.
   • Vì BM//AQ, áp dụng định lý Thales trong △ABM và △QPM (Không đúng).
   • Áp dụng định lý Ta-lét cho hai đường thẳng AC và BM song song bị cắt bởi MQ và AB.
   • • Trong △MAB, có P là trung điểm AB.
     • Xét △QAM và △PBM: Không đúng.
8. Sử dụng tính chất đường trung bình trong hình thang:
9. • Tứ giác ABMQ có BM//AQ. Do đó, ABMQ là hình thang (hoặc hình bình hành nếu AB//MQ).
   • P là trung điểm của AB. Q là giao điểm của MP và AC.
   • Trong hình thang ABMC (AC//BM), P là trung điểm AB.
   • MP cắt AC tại Q.
   • Theo tính chất đường trung bình của hình thang, đường thẳng đi qua trung điểm một cạnh bên và song song với hai đáy thì đi qua trung điểm cạnh bên còn lại.
   • Nếu PQ là đường trung bình thì PQ//BM//AC.
   • Do P là trung điểm AB, và Q nằm trên AC, M nằm trên tia By.
   • Nếu Q là trung điểm AC, thì PQ là đường trung bình.
10. Sử dụng tính chất của P là trung điểm AB:
11. • Xét △ABQ và △MBP: Không cần thiết.
12. Kết luận về AMBQ:
    Vậy, AMBQ là hình thang vuông tại A (và M nếu AB//MQ). Tuy nhiên, ta chỉ có BM//AQ, nên AMBQ là hình thang.
    Kiểm tra lại đề bài: Có thể đề bài muốn Q là trung điểm của AC nhưng không ghi rõ, hoặc ABMQ là hình bình hành.
    Xét P là trung điểm AB và Q là giao điểm MP và AC:
    Vậy, tứ giác AMBQ là hình chữ nhật.
13. • BM//AC (giả thiết By//AC). Q∈AC, nên BM//AQ.
    • Tứ giác AMBQ có một cặp cạnh đối BM và AQ song song với nhau.
    • Vậy, AMBQ là hình thang với đáy BM và AQ.
    • Thêm nữa: Ax⊥AC (giả thiết) và BM//AC. Do đó, Ax⊥BM.
    • Tức là AM⊥BM, nên ∠AMB=90∘.
    • Hình thang AMBQ có ∠MAQ=90∘ (Ax⊥AC).
14. • BM//AC.
    • △APQ∼△BPM (g.g):
    • • ∠PAQ=∠PBM (so le trong do AQ//BM).
      • ∠APQ=∠BPM (đối đỉnh).
    • Do △APQ∼△BPM và AP=PB ( P là trung điểm AB), nên △APQ=△BPM (g.c.g).
    • Suy ra: AQ=BM và PQ=PM.
    • Tứ giác AMBQ có AQ//BM và AQ=BM.
    • Tứ giác có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành.
    • Hơn nữa, ta đã chứng minh Ax⊥AC, nên ∠MAQ=90∘.
    • Hình bình hành AMBQ có một góc vuông (∠MAQ=90∘) là hình chữ nhật.

AI là đường cao, nên AI⊥BC, suy ra ∠AIC=90∘. I là giao điểm của đường cao AI với BC.

1. Xét △AIC vuông tại I:
2. • Q là trung điểm của AC (vì AMBQ là hình bình hành ⇒Q là trung điểm AC).
   • Trong △AIC vuông tại I, IQ là trung tuyến ứng với cạnh huyền AC.
   • Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông: IQ=21​AC.
3. Xét △QCB:
4. • Q là trung điểm AC. P là trung điểm AB.
   • PQ là đường trung bình của △ABC (vì P,Q là trung điểm hai cạnh AB,AC).
   • Do đó, PQ//BC và PQ=21​BC.
   • Vì PQ//BC và AI⊥BC, nên AI⊥PQ. AI cắt PQ tại một điểm (gọi là
   • AMBQ là hình chữ nhật ⇒MQ=AB.
   • PQ=PM (từ △APQ=△BPM).
   • P là trung điểm AB, nên AP=PB=21​AB.
   • Do MQ=AB, ta có PQ+PM=AB. Mà PQ=PM, nên 2PQ=AB.
   • PQ=21​A
     Kết luận:
     Kiểm tra lại tính chất H:
     Kết luận cuối cùng cho b):
     Giả định Đề bài sai/thiếu: Nếu đề muốn △PIQ cân, cần bổ sung AB=AC.
     Nếu câu hỏi chỉ là chứng minh PIQ cân: Ta phải đi tìm một cách chứng minh khác không phụ thuộc vào AB=AC.
   • PQ là đường trung bình của △ABC, nên PQ=21​BC (chứ không phải 21​AB).
   • AMBQ là hình chữ nhật ⇒AB=MQ.
   • △APQ=△BPM⇒BP=AP và MQ là MP+PQ.
   • IQ=21​AC (trung tuyến trong △AIC vuông tại I).
   • P là trung điểm AB. Q là trung điểm AC (AMBQ là hình bình hành).
   • PQ là đường trung bình của △ABC.
   • Do P là trung điểm AB và Q là trung điểm AC, thì PQ//BC.
   • PQ là đường trung bình, nên PQ=21​BC.
   • Xét △AIB vuông tại I. P là trung điểm AB.
   • PI là trung tuyến ứng với cạnh huyền AB của △AIB.
   • Tính chất trung tuyến trong tam giác vuông: PI=21​AB.
   • PI=21​AB.
   • IQ=21​AC.
   • Tam giác PIQ cân khi PI=IQ, tức là 21​AB=21​AC, hay AB=AC.
   • Nếu đề bài không cho AB=AC, thì △PIQ không thể chứng minh là tam giác cân theo cách thông thường.
   • H là trực tâm của △ABQ.
   • AI⊥BC.
   • BQ cắt AI tại H.
   • PI là trung tuyến của △AIB vuông tại I⇒PI=21​AB.
   • IQ là trung tuyến của △AIC vuông tại I⇒IQ=21​AC.
   • Tam giác PIQ cân tại I khi và chỉ khi PI=IQ, tức là AB=AC (△ABC cân tại A).
   • Nếu đề bài không cho △ABC cân tại A, thì △PIQ không cân.
   • Không có cách chứng minh độc lập. Kết quả PI=21​AB và IQ=21​AC là chắc chắn. △PIQ cân ⇔AB=AC.

• Ta có PI=21​AB (trung tuyến trong △AIB vuông tại I).
• Ta có IQ=21​AC (trung tuyến trong △AIC vuông tại I).
• Nếu AB=AC (giả định cần thiết để bài toán hoàn chỉnh), thì PI=IQ.
• Do đó, △PIQ cân tại I

• : BM//AC⇒BM//AQ. P là trung điểm AB. △APQ=△BPM (g.c.g) ⇒AQ=BM. Tứ giác có AQ//BM và AQ=BM là hình bình hành. Lại có Ax⊥AC⇒∠MAQ=90∘. Hình bình hành có một góc vuông là hình chữ nhật.
• • △AIB vuông tại I và P là trung điểm AB⇒PI=21​AB.
  • △AIC vuông tại I và Q là trung điểm AC⇒IQ=21​AC.
  • AMBQ là hình chữ nhật ⇒Q là trung điểm AC.
  • △PIQ cân tại I⇔PI=IQ⇔21​AB=21​AC⇔AB=AC.
  • Giả định AB=AC để chứng minh △PIQ cân tại I.

• M là trung điểm của AC, nên AM=MC=21​AC.
• Giả thiết cho BM=21​AC.
• Từ hai điều trên, ta suy ra AM=MC=BM.

• Xét △ABC có trung tuyến BM (vì M là trung điểm của AC).
• Ta có BM=AM=MC (chứng minh trên).
• Trong một tam giác, nếu đường trung tuyến ứng với một cạnh bằng nửa cạnh đó thì tam giác đó là tam giác vuông.
• Trong △ABC, trung tuyến BM bằng nửa cạnh AC (BM=21​AC).
• Vậy, △ABC vuông tại B. Do đó, ∠ABC=90∘.

Hình thang vuông ABCD có:

• ∠A=90∘ (Giả thiết hình thang vuông).
• ∠D=90∘ (Giả thiết hình thang vuông).

Để hình thang vuông ABCD trở thành hình chữ nhật, ta cần chứng minh nó là hình thang có bốn góc vuông.

• Trong hình thang ABCD, ta có:
• • ∠A=90∘.
  • ∠D=90∘.
  • ∠ABC=90∘ (chứng minh ở mục 2).
• Tổng bốn góc trong tứ giác là 360∘: ∠A+∠B+∠C+∠D=360∘ 90∘+90∘+∠C+90∘=360∘ 270∘+∠C=360∘ ∠C=90∘

Tứ giác ABCD có bốn góc đều bằng 90∘ (∠A=∠B=∠C=∠D=90∘).

Vậy, tứ giác ABCD là hình chữ nhật.

Gọi I là trung điểm của AC (giả thiết).

• • I là trung điểm của đường chéo AC.Ta có IH=ID (giả thiết).
  • I là trung điểm của đoạn HD.

Vì tứ giác AHCD có hai đường chéo AC và HD cắt nhau tại trung điểm I của mỗi đường, nên AHCD là hình bình hành.

AH là đường cao của tam giác ABC (giả thiết). Theo định nghĩa đường cao, AH vuông góc với BC tại H. Do đó, ∠AHC=90∘.

Hình bình hành AHCD có một góc (∠AHC) là 90∘ Vì tứ giác AHCD là hình bình hành (theo mục 1) và có một góc vuông (∠AHC=90∘) (theo mục 2), nên AHCD là hình chữ nhật (theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật).