a) Chứng minh tứ giác $AHCK$ là hình bình hành

• Ta có $AH \perp BD$ tại $H$ và $CK \perp BD$ tại $K \implies AH \parallel CK$.
• $ABCD$ là hình bình hành $\implies AD \parallel BC$ và $AD = BC$.
• $AD \parallel BC \implies \widehat{ADH} = \widehat{CBK}$ (hai góc so le trong).
• Xét $\Delta AHD$ và $\Delta CKB$:
• • $\widehat{AHD} = \widehat{CKB} = 90^\circ$
  • $AD = BC$
  • $\widehat{ADH} = \widehat{CBK}$
  • $\implies \Delta AHD = \Delta CKB \text{ (cạnh huyền - góc nhọn)}$.
  • $\implies AH = CK$ (hai cạnh tương ứng).
• Tứ giác $AHCK$ có $AH \parallel CK$ và $AH = CK$ nên là hình bình hành.

b) Chứng minh $IB = ID$

• Vì $AHCK$ là hình bình hành nên hai đường chéo $AC$ và $HK$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• $I$ là trung điểm $HK \implies I$ cũng là trung điểm của $AC$.
• Trong hình bình hành $ABCD$, hai đường chéo $AC$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Do $I$ là trung điểm $AC$ nên $I$ cũng chính là trung điểm của $BD$.
• Vậy $IB = ID$.

a) Chứng minh tứ giác $EBFD$ là hình bình hành

• $ABCD$ là hình bình hành $\implies AD \parallel BC$ và $AD = BC$.
• $E$ là trung điểm $AD \implies ED = \frac{1}{2}AD$.
• $F$ là trung điểm $BC \implies BF = \frac{1}{2}BC$.
• Do $AD = BC \implies ED = BF$.
• Lại có $ED \parallel BF$ (do $AD \parallel BC$).
• Tứ giác $EBFD$ có $ED \parallel BF$ và $ED = BF$ nên là hình bình hành.

b) Chứng minh ba điểm $E, O, F$ thẳng hàng

• Vì $ABCD$ là hình bình hành có $O$ là giao điểm hai đường chéo $\implies O$ là trung điểm của $BD$.
• Tứ giác $EBFD$ là hình bình hành (theo câu a) nên hai đường chéo $EF$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.
• Do $O$ là trung điểm của $BD$ nên $O$ cũng phải là trung điểm của $EF$.
• Vậy ba điểm $E, O, F$ thẳng hàng (và $O$ là trung điểm của $EF$).

• Trong $\Delta ABC$, $M$ và $N$ lần lượt là trung điểm của $AC$ và $AB$.
  • $\implies MN$ là đường trung bình của $\Delta ABC \implies MN \parallel BC$ và $MN = \frac{1}{2}BC$.
• Trong $\Delta GBC$, $P$ và $Q$ lần lượt là trung điểm của $GB$ và $GC$.
  • $\implies PQ$ là đường trung bình của $\Delta GBC \implies PQ \parallel BC$ và $PQ = \frac{1}{2}BC$.
• Suy ra $MN \parallel PQ$ (vì cùng song song với $BC$) và $MN = PQ$ (vì cùng bằng $\frac{1}{2}BC$).
• Tứ giác $PQMN$ có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau nên $PQMN$ là hình bình hành.

a) Chứng minh hai tứ giác $AEFD$, $ABFC$ là những hình bình hành

• Tứ giác $AEFD$:
• • $B$ là trung điểm $AE \implies AE = 2AB$.
  • $C$ là trung điểm $DF \implies DF = 2DC$.
  • Mà $ABCD$ là hình bình hành $\implies AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
  • Từ đó suy ra $AE = DF$ và $AE \parallel DF$.
  • Tứ giác $AEFD$ có $AE \parallel DF$ và $AE = DF$ nên là hình bình hành.
• Tứ giác $ABFC$:
• • $ABCD$ là hình bình hành $\implies AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
  • Vì $C$ là trung điểm $DF$ nên $CD = CF$ và $D, C, F$ thẳng hàng.
  • Suy ra $AB \parallel CF$ và $AB = CF$.
  • Tứ giác $ABFC$ có cặp cạnh đối $AB \parallel CF$ và $AB = CF$ nên là hình bình hành.

b) Chứng minh các trung điểm của ba đoạn thẳng $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau

• Trong hình bình hành $AEFD$, hai đường chéo $AF$ và $DE$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó, trung điểm $AF$ trùng với trung điểm $DE$ (gọi điểm này là $I$).
• Trong hình bình hành $ABFC$, hai đường chéo $AF$ và $BC$ cắt nhau tại trung điểm mỗi đường. Do đó, trung điểm $AF$ trùng với trung điểm $BC$.
• Kết luận: Trung điểm của ba đoạn thẳng $AF$, $DE$, $BC$ trùng nhau tại $I$.

• Chứng minh $\Delta OAM = \Delta OCN$:
  • Vì $ABCD$ là hình bình hành nên $O$ là trung điểm của $AC \implies OA = OC$.
  • $AB \parallel CD \implies \widehat{MAO} = \widehat{NCO}$ (hai góc so le trong).
  • Xét $\Delta OAM$ và $\Delta OCN$:
  • • $\widehat{MAO} = \widehat{NCO}$ (chứng minh trên)
    • $OA = OC$ (chứng minh trên)
    • $\widehat{AOM} = \widehat{CON}$ (hai góc đối đỉnh)
  • $\implies \Delta OAM = \Delta OCN\text{ (g.c.g)}$.
• Suy ra tứ giác $MBND$ là hình bình hành:
  • Từ $\Delta OAM = \Delta OCN \implies OM = ON$ (hai cạnh tương ứng).
  • Lại có $O$ là trung điểm của $BD \implies OB = OD$ (tính chất hình bình hành $ABCD$).
  • Tứ giác $MBND$ có hai đường chéo $MN$ và $BD$ cắt nhau tại trung điểm $O$ của mỗi đường, do đó $MBND$ là hình bình hành.

a) Chứng minh hai tứ giác $AEFD$, $AECF$ là những hình bình hành

• Xét tứ giác $AEFD$:
• • Do $ABCD$ là hình bình hành nên $AB \parallel CD$ và $AB = CD$.
  • $E$ là trung điểm $AB \implies AE = \frac{1}{2}AB$.
  • $F$ là trung điểm $CD \implies DF = \frac{1}{2}CD$.
  • Do $AB = CD$ nên $AE = DF$.
  • Mặt khác, $E \in AB$ và $F \in CD$ nên $AE \parallel DF$.
  • Tứ giác $AEFD$ có $AE \parallel DF$ và $AE = DF$ nên là hình bình hành.
• Xét tứ giác $AECF$:
• • $E$ là trung điểm $AB \implies AE = \frac{1}{2}AB$.
  • $F$ là trung điểm $CD \implies FC = \frac{1}{2}CD$.
  • Do $AB = CD$ nên $AE = FC$.
  • Lại có $AE \parallel FC$ (do $AB \parallel CD$).
  • Tứ giác $AECF$ có cặp cạnh đối $AE \parallel FC$ và $AE = FC$ nên là hình bình hành.

b) Chứng minh $EF = AD$ và $AF = EC$

• Do $AEFD$ là hình bình hành (theo câu a) $\implies EF = AD$ (hai cạnh đối).
• Do $AECF$ là hình bình hành (theo câu a) $\implies AF = EC$ (hai cạnh đối).

a) Tứ giác AMBQ là hình gì?

1. Ta có Ax⊥AC và By∥AC⇒Ax⊥By⇒AMB=90∘.
2. Xét ΔMAP và ΔQBP:
3. • PAM=PBQ​ (hai góc so le trong do AM∥BQ)
   • AP=BP (P là trung điểm của AB)
   • APM=BPQ​ (hai góc đối đỉnh) ⇒ΔMAP=ΔQBP (g.c.g) ⇒AM=BQ (hai cạnh tương ứng).
4. Xét tứ giác AMBQ:
5. • AM∥BQ và AM=BQ⇒AMBQ là hình bình hành.
   • Lại có QAM​=90∘ (vì Ax⊥AC).
6. Hình bình hành AMBQ có QAM​=90∘ nên AMBQ là hình chữ nhật.

b) Chứng minh tam giác PIQ cân:

1. Do AMBQ là hình chữ nhật nên hai đường chéo AB và MQ cắt nhau tại trung điểm P của mỗi đường và bằng nhau:PQ=21​MQ=21​AB(1)
2. Xét ΔAIB vuông tại I (AI là đường cao), IP là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AB:IP=21​AB(2)
3. Từ (1) và (2) suy ra QP=IP.
4. Tam giác PIQ có QP=IP nên ΔPIQ cân tại P.

• Xét $\Delta ABC$ có $BM$ là đường trung tuyến ứng với cạnh $AC$ và $BM = \frac{1}{2}AC$.
  $\Rightarrow \Delta ABC$ vuông tại $B$, hay $\widehat{B} = 90^\circ$.
• Xét tứ giác $ABCD$ có:
  • $\widehat{A} = 90^\circ$ (giả thiết)
  • $\widehat{D} = 90^\circ$ (giả thiết)
  • $\widehat{B} = 90^\circ$ (chứng minh trên)
• Tứ giác $ABCD$ có $3$ góc vuông ($\widehat{A} = \widehat{D} = \widehat{B} = 90^\circ$) nên $ABCD$ là hình chữ nhật.

• Xét tứ giác $AHCD$, ta có:
  • $I$ là trung điểm của $AC$ (theo giả thiết).
  • $I$ là trung điểm của $HD$ (vì $IH = ID$ và $D \in HI$).
  • Hai đường chéo $AC$ và $HD$ cắt nhau tại trung điểm $I$ của mỗi đường.
    $\Rightarrow$ Tứ giác $AHCD$ là hình bình hành.
• Lại có $AH$ là đường cao của $\Delta ABC$ nên $AH \perp BC \Rightarrow \widehat{AHC} = 90^\circ$.
• Hình bình hành $AHCD$ có một góc vuông ($\widehat{AHC} = 90^\circ$) nên $AHCD$ là hình chữ nhật.