Bài toán nâng cao và thực tiễn SVIP

Tính tổng: $A=\dfrac{1}{1.2}+\dfrac{1}{2.3}+...+\dfrac{1}{2\,014.2\,015}$.

Tính tổng $S=\dfrac{1}{9.10}+\dfrac{1}{10.11}+...+\dfrac{1}{2\,004.2\,005}$.

An đọc một quyển sách trong $3$ ngày. Ngày thứ nhất An đọc được $\dfrac{1}{11}$ quyển sách, ngày thứ hai An đọc được $\dfrac{8}{11}$ quyển sách. Trong $2$ ngày An đọc được bao nhiêu phần quyển sách?

Hai vòi nước cùng chảy vào một bể nước. Nếu chảy một mình, vòi thứ nhất phải mất $6$ giờ, vòi thứ hai phải mất $8$ giờ. Nếu cùng chảy thì mỗi giờ cả hai vòi chảy được bao nhiêu phần bể?

Hai người cùng làm chung một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất $4$ giờ, người thứ hai phải mất $7$ giờ mới xong công việc. Hỏi nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai người làm được mấy phần công việc?

Hai tổ $A$ và $B$ cùng xây một con đường. Nếu làm riêng, tổ $A$ làm xong công việc trong $4$ giờ, tổ $B$ làm xong công việc ấy trong $3$ giờ. Nếu làm chung thì mỗi giờ cả hai tổ làm được mấy phần công việc?

Ba người cùng làm một công việc. Nếu làm riêng, người thứ nhất phải mất $5$ giờ, người thứ $2$ mất $4$ giờ và người thứ $3$ mất $6$ giờ. Nếu làm chung thì mỗi giờ cả ba người làm được bao nhiêu phần công việc?

Ba vòi cùng chảy vào một cái bể. Vòi thứ nhất chảy đầy bể trong $3$ giờ. Vòi thứ hai chảy đầy bể trong $6$ giờ và vòi thứ ba chảy đầy bể trong $4$ giờ.

a) Sau $1$ giờ mở cả ba vòi thì nước trong bể chiếm bao nhiêu phần?

b) Tiếp tục mở một vòi thứ mấy để chỉ cần sau $1$ giờ nữa thì nước vừa vặn đầy bể.

Hoa đọc một quyển sách trong $4$ ngày. Ngày thứ nhất Hoa đọc được $\dfrac{3}{8}$ quyển sách, ngày thứ hai Hoa đọc được $\dfrac{1}{8}$ quyển sách và ngày thứ ba Hoa đọc được $\dfrac{2}{8}$. Trong $3$ ngày Hoa đọc được bao nhiêu phần quyển sách?

Tính tổng $S=1-\dfrac{11}{6}+\dfrac{19}{12}-\dfrac{29}{20}+\dfrac{41}{30}-\dfrac{55}{42}+\dfrac{71}{56}-\dfrac{89}{72}+\dfrac{109}{90}$.