Chia hết và chia có dư. Tính chất chia hết của một tổng SVIP

1. CHIA HẾT VÀ CHIA CÓ DƯ

Với hai số tự nhiên $a$ và $b$ đã cho ( $b$ khác 0), ta luôn tìm được đúng hai số tự nhiên $q$ và $r$ sao cho $a=b.q+r$, trong đó $0 \le r <b$.

+ Nếu $r = 0$ thì ta có phép chia hết $a : b = q$; $a$ là số bị chia, $b$ là số chia, $q$ là thương.

+ Nếu $r \ne 0$ thì ta có phép chia có dư $a : b = q$ (dư $r$ ); $a$ là số bị chia, $b$ là số chia, $q$ là thương và $r$ là số dư.

Chú ý: Trong phép chia có dư, số dư bao giờ cũng nhỏ hơn số chia. 

Ví dụ 1. Đặt tính rồi thực hiện các phép chia sau:

a. $5 \, 457 \, : \, 321$.                                          

Vậy $5 \, 457 \, : \, 321 = 17$ 

b. $5 \, 125 \, : \, 320$. 

Vậy $5 \, 125 \, : \, 320 = 16$ (dư $5$).

Ví dụ 2. Phải dùng ít nhất bao nhiêu xe ô tô $45$ chỗ ngồi để trở hết $2 \, 128$ nhân viên của một đội bóng?

Lời giải

Vì $2 \, 457 : 45 = 47$ (dư $13$) nên xếp đủ $47$ xe thì còn thừa $13$ người nên phải dùng thêm một xe nữa để chở nốt những người này. 

Vậy cần dùng ít nhất $47 + 1 = 48$ (xe).

2. TÍNH CHẤT CHIA HẾT CỦA MỘT TỔNG

Tính chất 1. Nếu tất cả các số hạng của một tổng đều chia hết cho cùng một số thì tổng chia hết cho số đó.

+ Nếu $a\,\vdots \, m$ và $b\,\vdots \, m$ thì $(a+b)\,\vdots \, m$.

+ Nếu $a\,\vdots \, m$, $b\,\vdots \,m$ và $c\,\vdots \,m$ thì $(a+b+c)\,\vdots \,m$.

Chú ý: Tính chất 1 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $30\,\vdots \,3$ và $18\,\vdots \,3$, suy ra $(30-18)\,\vdots \,3$.

Ví dụ 3. Không tính tổng, xét xem

a) $A=4+8+12+16$ có chia hết cho $4$ hay không. Vì sao?

b) $B= 49-14-7$ có chia hết cho $7$ hay không. Vì sao?

Lời giải

a) Các số $4;\,8;\,12;\,16$ đều chia hết cho $4$ nên $A$ chia hết cho $4$.

b) Các số $49;\,14;\,7$ đều chia hết cho $7$ nên $B$ chia hết cho $7$.

Tính chất 2. Nếu có một số hạng của một tổng không chia hết cho một số đã cho, các số hạng còn lại đều chia hết cho số đó thì tổng không chia hết cho số đã cho.

+ Nếu $a\,\vdots \,m$ và $b \not\vdots \,m$ thì $(a+b) \not\vdots \,m$.

+ Nếu $a\,\vdots \,m$, $b\,\vdots \,m$ và $c \not\vdots \,m$ thì $(a+b+c) \not\vdots \,m$

Chú ý: Tính chất 2 cũng đúng với một hiệu, chẳng hạn $45\,\vdots \,5$ và $8\,\not\vdots \,5$, suy ra $(45-8)\,\not\vdots \,5$.

Ví dụ 4. Không tính tổng, xét xem

a) $A=5+6+10$ có chia hết cho $5$ hay không. Vì sao?

b) $B= 36-6-4$ có chia hết cho $6$ hay không. Vì sao?

Lời giải

a) Các số $5;\,10$ đều chia hết cho $5$ và $6\not\vdots \,5$ nên $A$ không chia hết cho $5$.

b) Các số $36;\,6$ đều chia hết cho $6$ và $4\not\vdots \,6$  nên $B$ không chia hết cho $7$.