Tập hợp các số thực SVIP

1. KHÁI NIỆM SỐ THỰC VÀ TRỤC SỐ THỰC

1.1 SỐ THỰC

Số hữu tỉ và số vô tỉ được gọi chung là số thực.

Tập hợp các số thực được kí hiệu là \(ℝ\).

Ví dụ 1. Các số $\dfrac12=0,5$; $\dfrac13=0,333...=0,(3)$; $\sqrt{5}=2,236067977...$ đều là số thực.

Chú ý:

⚡Cũng như số hữu tỉ, mỗi số thực \(a\) đều có một số đối kí hiệu là \(-a\);

⚡Trong tập số thực cũng có các phép toán với các tính chất như trong tập số hữu tỉ.

1.2. TRỤC SỐ THỰC

⚡Mỗi số thực đều được biểu diễn bởi một điểm trên trục số.

⚡Ngược lại, mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực.

Ví dụ 2. Trên trục số dưới đây, điểm $A$ biểu diễn số thực $-\dfrac73$, điểm $D$ biểu diễn số thực $2,5$.

Chú ý:

⚡Vì mỗi điểm trên trục số đều biểu diễn một số thực nên các số thực lấp đầy trục số. Để nhấn mạnh điều này, người ta cũng gọi trục số là trục số thực.

⚡Điểm biểu diễn hai số thực đối nhau nằm khác phía so với $O$ và có khoảng cách đến gốc $O$ bằng nhau.

2. THỨ TỰ TRONG TẬP HỢP CÁC SỐ THỰC

⚡Cũng như với các số hữu tỉ, ta có

           +) Với hai số thực \(a\) và \(b\) bất kì ta luôn có \(a=b\) hoặc \(a< b\) hoặc \(a>b.\)

           +) Cho ba số thực \(a,\) \(b,\) \(c\) . Nếu \(a< b\) và \(b< c\) thì \(a< c\) (tính chất bắc cầu).

⚡Trên trục số thực, nếu \(a< b\) thì điểm \(a\) nằm trước điểm \(b\). Nói riêng, các điểm nằm trước gốc O biểu diễn các số âm, các điểm nằm sau gốc O biểu diễn các số dương. Bởi vậy, ta viết \(x< 0\) để nói \(x\) là số âm, viết \(x>0\) để nói \(x\) là số dương.

Ví dụ 3.

Điểm biểu diễn số thực $\sqrt{3}$ nằm giữa hai điểm $C$ và $D$ vì $1<\sqrt{3}<3$.

Chú ý: Nếu \(0< a< b\) thì \(\sqrt{a}< \sqrt{b}\).

3. GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI CỦA MỘT SỐ THỰC

Khoảng cách từ điểm \(a\) trên trục số đến gốc $O$ là giá trị tuyệt đối của số \(a\), kí hiệu là \(\left|a\right|\).

Nhận xét:

⚡Giá trị tuyệt đối của \(0\) là \(0;\)

⚡Giá trị tuyệt đối của một số dương là chính nó, chẳng hạn: \(\left|3\right|=3;\) \(\left|\dfrac{7}{9}\right|=\dfrac{7}{9};\)

⚡Giá trị tuyệt đối của một số âm là số đối của nó, chẳng hạn \(\left|-5\right|=5;\) \(\left|-1\dfrac{4}{7}\right|=1\dfrac{4}{7};\) \(\left|-\sqrt{6}\right|=\sqrt{6}.\)