Ước chung và ước chung lớn nhất SVIP

1. ƯỚC CHUNG VÀ ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT

⚡Số tự nhiên $n$ được gọi là ước chung của hai số $a$ và $b$ nếu $n$ vừa là ước của $a$ vừa là ước của $b$.

⚡Số lớn nhất trong các ước chung của $a$ và $b$ được gọi là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Quy ước: Viết tắt ước chung là ƯC và ước chung lớn nhất là ƯCLN.

Ta kí hiệu: ƯC$(a,\,b)$ là tập hợp các ước chung của $a$ và $b$; ƯCLN$(a,\,b)$ là ước chung lớn nhất của $a$ và $b$.

Ví dụ 1. Ta có Ư$(12)=\{1;\,2;\,3;\,4;\,6;\,12\}$;

Ư$(18)=\{1;\,2;\,3;\,6;\,9;\,18\}$;

Các số $1;\, 2;\,3;\,6$ đều là ước của hai số $12$ và $18$ nên ƯC$(12,\,18)=\{1;\,2;\,3;\,6\}$.

Vì $6$ là số lớn nhất trong các ước chung nên ƯCLN$(12,\,18)=6$.

⚡Ước chung của hai số là ước của ước chung lớn nhất của chúng.

Ví dụ 2. Biết ƯCLN$(a,\, b) = 30$. Tìm tất cả các số là ước chung của $a$ và $b$.

Lời giải

Vì ước chung của $a$ và $b$ đều là ước của ƯCLN$(a, b) = 30$ nên tất cả các số có hai chữ số là ước chung của $a$ và $b$ là:

$1$, $2$, $3$, $5$, $6$, $10$, $15$, $30$.

2. TÌM ƯỚC CHUNG LỚN NHẤT BẰNG CÁCH PHÂN TÍCH CÁC SỐ RA THỪA SỐ NGUYÊN TỐ

Các bước tìm ƯCLN của hai hay nhiều số lớn hơn $1$:

Bước 1. Phân tích mỗi số ra thừa số nguyên tố;

Bước 2. Chọn ra các thừa số nguyên tố chung;

Bước 3. Với mỗi thừa số nguyên tố chung, ta chọn luỹ thừa với số mũ nhỏ nhất.

Bước 4. Lấy tích của các luỹ thừa đã chọn, ta nhận được ước chung lớn nhất cần tìm.

Ví dụ 3. Tìm ƯCLN$(150,\,45)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Lời giải

Phân tích các số $45$ và $150$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$45=3^2.5$; $150=2.3.5^2$.

Ta thấy $3$ và $5$ là các thừa số nguyên tố chung. Số mũ nhỏ nhất của $3$ là $1$ và số mũ nhỏ nhất của $5$ là $1$ nên

ƯCLN$(150,\,45)=3.5=15$.

Ví dụ 4. Tìm ƯCLN$(56,\,140,\,168)$ bằng cách phân tích ra thừa số nguyên tố.

Lời giải

Phân tích các số $56,\,140$ và $168$ ra thừa số nguyên tố ta được:

$56=2^3.7$; $140=2^2.5.7$; $168=2^3.3.7$.

Ta thấy $2$ và $7$ là các thừa số nguyên tố chung của $56$, $140$ và $168$. Số mũ nhỏ nhất của $2$ là $2$ và số mũ nhỏ nhất của $7$ là $1$ nên

ƯCLN$(56,\,140,\,168)=2^2.7=28$.

 3. HAI SỐ NGUYÊN TỐ CÙNG NHAU

⚡Hai số nguyên tố cùng nhau là hai số có ước chung lớn nhất bằng $1$.

Ví dụ 5.

a) Hai số $10$ và $21$ nguyên tố cùng nhau vì ƯCLN$(10, 21) = 1$.

b) Do ƯCLN$(5, 7) = 1$ nên $5$ và $7$ là hai số nguyên tố cùng nhau.

⚡Phân số tối giản là phân số có tử và mẫu là hai số nguyên tố cùng nhau.

Ví dụ 6. Các phân số sau đã là phân số tối giản chưa? Nếu chưa, hãy rút gọn về phân số tối giản.

a) $\dfrac{7}{9}$;          b) $\dfrac{18}{54}$.

Lời giải

a) Ta có ƯCLN$(7,\,9)=1$, nên $\dfrac{7}{9}$ là phân số tối giản.

b) ƯCLN$(18,\,54)=18$, nên $\dfrac{18}{54}$ không là phân số tối giản.

Ta có $\dfrac{18}{54}=\dfrac{18:18}{54:18}=\dfrac{1}{3}$.

Ta được $\dfrac{1}{3}$ là phân số tối giản.