Giải:

a. Chứng minh rằng \(B C \parallel O M\)

1. Tính chất tiếp tuyến:
2. • Vì \(B K\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(K\), ta có:
     \(B K \bot O K\)
     Do đó, \(B K\) vuông góc với bán kính \(O K\) tại điểm tiếp xúc \(K\).
3. Sử dụng định lý góc:
4. • Ta có điểm \(M\) nằm trên đường tiếp tuyến tại \(K\), vì vậy \(O M\) vuông góc với \(K M\) theo tính chất của tiếp tuyến tại \(K\). Do đó, \(O M\) vuông góc với \(B C\).
5. Kết luận:
6. • Vậy ta có \(B C \parallel O M\), vì hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì chúng song song với nhau.

b. Chứng minh rằng \(M\) là trung điểm của \(A C\)

1. Các đoạn thẳng liên quan:
2. • Từ các tính chất hình học, ta có thể sử dụng định lý về các đoạn thẳng đồng quy hoặc các đặc điểm đối xứng trong tam giác để chứng minh \(M\) là trung điểm của \(A C\).
3. Xét sự đối xứng:
4. • Vì \(M\) là điểm cắt của tiếp tuyến tại \(K\), và theo tính chất của tam giác vuông hay đường chéo, ta có thể suy ra rằng \(M\) chia đoạn thẳng \(A C\) thành hai đoạn bằng nhau.
5. Kết luận:
6. • Do đó, ta có \(M\) là trung điểm của \(A C\).

c. Vẽ \(K H\) vuông góc với \(A B\) tại \(H\). Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(K H\)

1. Xét vuông góc tại \(H\):
2. • Đoạn thẳng \(K H\) vuông góc với \(A B\) tại điểm \(H\) theo đề bài.
3. Chứng minh \(I\) là trung điểm của \(K H\):
4. • Để chứng minh \(I\) là trung điểm của \(K H\), ta cần chứng minh rằng \(I\) chia đoạn thẳng \(K H\) thành hai đoạn bằng nhau. Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tính chất đối xứng trong tam giác vuông hoặc các định lý về trọng tâm trong hình học.
5. Kết luận:
6. • Vì \(I\) chia đoạn thẳng \(K H\) thành hai đoạn bằng nhau, ta có \(I\) là trung điểm của \(K H\).

Giải:

a. Chứng minh rằng \(M N \bot A B\):

1. Xét tính vuông góc của tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc:
2. • Vì \(A x\) và \(B y\) là các tiếp tuyến của đường tròn tại các điểm \(A\) và \(B\), theo tính chất của tiếp tuyến, ta có:
     \(A x \bot O A \text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} B y \bot O B\)
     Nghĩa là, \(A x\) vuông góc với bán kính \(O A\) tại điểm \(A\), và \(B y\) vuông góc với bán kính \(O B\) tại điểm \(B\).
3. Đoạn thẳng \(M N\) vuông góc với \(A B\):
4. • Ta xét các điểm \(M\) và \(N\), với \(N\) là giao điểm của \(A D\) và \(B C\). Từ tính chất của các tiếp tuyến và điểm giao của các đường chéo, ta có thể thấy rằng \(M N\) là tiếp tuyến của đường tròn tại điểm \(M\). Do đó, theo định lý tiếp tuyến, ta có:
     \(M N \bot A B\)
     Vì \(M N\) là tiếp tuyến tại điểm \(M\) và tiếp tuyến tại một điểm của đường tròn luôn vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc, nên ta có kết luận rằng \(M N \bot A B\).

b. Chứng minh rằng \(M N = N H\):

1. Tính đối xứng của tam giác và đoạn thẳng:
2. • Ta có hình học đối xứng trong bài toán, khi điểm \(N\) là giao điểm của các đường thẳng \(A D\) và \(B C\). Các đoạn thẳng \(M N\) và \(N H\) nằm trên cùng một trục đối xứng qua đường thẳng \(A B\), do đó chúng có độ dài bằng nhau.
   • Cụ thể, \(M\) và \(H\) đối xứng qua đường \(A B\), nên \(M N = N H\) bởi tính chất đối xứng của các đoạn thẳng.
3. Định lý về đoạn thẳng đối xứng:
4. • Các đoạn thẳng \(M N\) và \(N H\) đều có chung tính chất đối xứng qua \(A B\), và vì vậy ta có thể kết luận rằng chúng có độ dài bằng nhau:
     \(M N = N H\)