Xét tứ giác \(M N P Q\), ta có: \(M Q\) // \(N P\) và \(M N\) // \(P Q\) suy ra \(M N P Q\) là hình bình hành.

Kéo dài \(A D\) và \(B C\) cắt nhau tại \(E\).

Ta có: \(\hat{C} + \hat{D} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{E} = 9 0^{\circ}\).

Lại có:\(M N\) // \(E D\) và \(M Q\) // \(E C\) suy ra \(M N ⊥ M Q\)

Do đó \(M N P Q\) là hình chữ nhật suy ra \(M , N , P , Q\) nằm trên một đường tròn với tâm là giao điểm của hai đường chéo của hình chữ nhật, bán kính bằng nửa đường chéo.

Vì tam giác \(A B C\) đều nên các trung tuyến đồng thời cũng là đường cao.

Suy ra \(A M , B N , C P\) lần lượt vuông góc với \(B C , A C , A B\).

\(\Delta B P C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(M P = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (1)

\(\Delta B N C\) là tam giác vuông, có \(B C\) là cạnh huyền nên \(N M = \frac{1}{2} B C = B M = M C\) (2) 

Từ (1) và (2) suy ra \(P M = N M = M B = M C\) hay các điểm \(B , P , N , C\) cùng thuộc đường tròn, đường kính \(B C = a\), tâm đường tròn là trung điểm \(M\) của \(B C\).

a) Giả sử đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) có bán kính \(R\) suy ra \(O A = R\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Do \(B\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(d\) suy ra \(O A = O B\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Do \(C\) là điểm đối xứng với \(A\) qua \(O\) suy ra \(O A = O C\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Do \(D\) là điểm đối xứng với \(B\) qua \(O\) suy ra \(O B = O D\) \(\left(\right. 4 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\), \(\left(\right. 3 \left.\right)\) và \(\left(\right. 4 \left.\right)\) suy ra \(B\), \(C\) và \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Ta thấy \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại \(O\) là trung điểm của mỗi đường, suy ra \(A B C D\) là hình chữ nhật.

c) Ta thấy \(O C = O D\) suy ra \(d\) là đường trung trực của \(C D\).

Suy ra \(C\) và \(D\) đối xứng với nhau qua \(d\).

Gọi \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) lần lượt là trung điểm của bốn cạnh \(A B\), \(B C\), \(C D\) và \(D A\) của hình thoi \(A B C D\).

Gọi \(O\) là giao điểm của \(A C\) và \(B D\).

Ta có \(A C ⊥ B D\).

Theo tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền của tam giác vuông, ta được:

\(O M = \frac{1}{2} A B\); \(O N = \frac{1}{2} B C\);

\(O P = \frac{1}{2} C D\); \(O Q = \frac{1}{2} A D\)

Mặt khác \(A B = B C = C D = D A\) nên \(O M = O N = O P = O Q\).

Do đó bốn điểm \(M\), \(N\), \(P\), \(Q\) cùng nằm trên một đường tròn.

Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\).

Ta có \(B D\) là đường cao nên \(B D ⊥ A C\), hay tam giác \(B C D\) vuông tại \(D\).

Trong tam giác vuông \(B C D\) có \(D O\) là trung tuyến ứng với cạnh huyền \(B C\) nên:

\(O D = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 1 \left.\right)\)

Tương tự ta có: \(O E = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 2 \left.\right)\)

Và \(O F = O B = O C = \frac{1}{2} B C\) \(\left(\right. 3 \left.\right)\)

Từ \(\left(\right. 1 \left.\right)\), \(\left(\right. 2 \left.\right)\) và \(\left(\right. 3 \left.\right)\) suy ra \(O B = O C = O D = O D = O E = O F\).

Do đó năm điểm \(B\), \(C\), \(D\), \(E\), \(F\) cùng thuộc một đường tròn.

Gọi \(O\) là giao điểm của hai đường chéo \(A C\) và \(B D\).

Theo tính chất hai đường chéo của hình chữ nhật, ta có \(O A = O B = O C = O D \left(\right. = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} B D \left.\right)\).

Vậy bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng thuộc \(\left(\right. O ; \frac{1}{2} A C \left.\right)\).

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác vuông \(A B C\), ta có: \(A C^{2} = A B^{2} + B C^{2} = a^{2} + b^{2}\)

Do đó \(R = \frac{1}{2} A C = \frac{1}{2} \sqrt{a^{2} + b^{2}}\).

Tứ giác \(A B C D\) có \(\hat{B} = \hat{D} = 9 0^{\circ}\) nên \(O A = O B = O C = O D\) (đường cao ứng với cạnh huyền).

Suy ra bốn điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) cùng nằm trên một đường tròn tâm \(O\), đường kính \(A C\).

Câu 1 : Bài thơ "Để đến Sầm Nghi Đống" (hay còn gọi là "Qua đền Sầm Nghi Đống") của Hồ Xuân Hương là một tác phẩm trào phúng đặc sắc, thể hiện thái độ coi thường danh vọng hão huyền và bản lĩnh cá tính mạnh mẽ của nữ sĩ. Nội dung chính của bài thơ tập trung vào việc phê phán thói đời sùng bái những nhân vật lịch sử không xứng đáng. Sầm Nghi Đống là một võ quan nhà Thanh từng sang xâm lược nước ta và bị nghĩa quân Tây Sơn đánh bại. Việc người đời lập đền thờ hắn bị nữ sĩ chế giễu sâu cay. Thái độ của Hồ Xuân Hương trong bài thơ rất ngang tàng, bất cần qua các hành động "ghé mắt trồng ngang", không tuân theo lễ giáo phong kiến (đi qua đền miếu thường phải kính cẩn). Thông điệp mà tác giả gửi gắm là sự đề cao giá trị thực, châm biếm thói a dua, trọng hư danh của xã hội lúc bấy giờ.

Câu2: Đất nước là thiêng liêng, là nơi ta sinh ra và lớn lên, là tổ ấm chung của cả dân tộc. Vì vậy, việc xây dựng và bảo vệ Tổ quốc không chỉ là nhiệm vụ của riêng ai mà là trách nhiệm và nghĩa vụ cao cả của mỗi công dân. Nhận thức rõ trách nhiệm này là tiền đề quan trọng để chúng ta cùng nhau hướng tới một tương lai tươi sáng, vững mạnh cho quê hương. Trách nhiệm xây dựng đất nước bắt đầu từ những hành động thiết thực, gần gũi nhất trong cuộc sống hàng ngày. Đối với học sinh, sinh viên, đó là nỗ lực không ngừng trong học tập, rèn luyện đạo đức, nâng cao kiến thức và kỹ năng. Kiến thức chính là chìa khóa để mở ra cánh cửa phát triển kinh tế, khoa học kỹ thuật cho đất nước trong bối cảnh hội nhập quốc tế sâu rộng. Mỗi người lao động, dù ở bất kỳ ngành nghề nào, đều có thể đóng góp bằng sự tận tâm, sáng tạo, hoàn thành tốt công việc được giao. Lao động chân chính không chỉ mang lại thu nhập, làm giàu cho bản thân và gia đình mà còn trực tiếp tạo ra của cải vật chất, thúc đẩy nền kinh tế quốc gia phát triển. Bên cạnh đó, việc giữ gìn và phát huy bản sắc văn hóa dân tộc, bài trừ các tệ nạn xã hội cũng là cách chúng ta xây dựng một xã hội văn minh, lành mạnh. Bảo vệ đất nước Trách nhiệm bảo vệ Tổ quốc không chỉ giới hạn ở việc cầm súng chiến đấu nơi biên giới, hải đảo. Bảo vệ đất nước trong thời bình còn là việc nâng cao ý thức cảnh giác trước những âm mưu diễn biến hòa bình, những luận điệu xuyên tạc của các thế lực thù địch. Mỗi công dân cần tuân thủ nghiêm chỉnh pháp luật, giữ gìn trật tự an toàn xã hội, đóng góp vào sự ổn định chung của đất nước. Bảo vệ môi trường sống, tài nguyên thiên nhiên cũng là cách chúng ta bảo vệ "ngôi nhà chung", đảm bảo sự phát triển bền vững cho thế hệ tương lai. Những hành động nhỏ như tiết kiệm điện, nước, không xả rác bừa bãi, tham gia các hoạt động tình nguyện vì cộng đồng đều thể hiện trách nhiệm của người công dân đối với đất nước. Tóm lại, trách nhiệm của mỗi người trong việc xây dựng và bảo vệ đất nước là một nghĩa vụ xuyên suốt cuộc đời. Bằng những hành động cụ thể, dù nhỏ bé nhưng đầy ý nghĩa, mỗi chúng ta đều đang góp phần tạo nên sức mạnh tổng hợp của dân tộc. Nhận thức rõ và hành động theo trách nhiệm này sẽ giúp chúng ta xây dựng một nước Việt Nam ngày càng giàu mạnh, văn minh, và bảo vệ vững chắc nền độc lập, chủ quyền thiêng liêng của Tổ quốc.