Giới thiệu về bản thân
Giả thiết
- Hình chóp \(S . A B C D\) có đáy \(A B C D\) là hình bình hành.
\(\Rightarrow A B \parallel C D , \&\text{nbsp}; A D \parallel B C .\) - \(I\) là trung điểm của cạnh \(S A\).
- Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) đi qua ba điểm \(I , B , C\).
2. Phân tích: Mặt phẳng (IBC) đi qua những đâu?
Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) chứa:
- \(I\) trên \(S A\),
- \(B\) và \(C\) — hai đỉnh kề của đáy.
⟹ Mặt phẳng này chắc chắn cắt hình chóp ở các mặt:
\(\left(\right. S A B \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. S A D \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. S C D \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. S B C \left.\right) .\)Ta sẽ tìm giao tuyến của \(\left(\right. I B C \left.\right)\) với từng mặt này.
3. Xác định các giao tuyến
(1) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right)\)
- \(I \in S A \subset \left(\right. S A B \left.\right)\),
- \(B \in \left(\right. S A B \left.\right)\).
⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right) = I B .\)
(2) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right)\)
- \(B , C \in \left(\right. S B C \left.\right)\).
⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right) = B C .\)
(3) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right)\)
- \(C \in \left(\right. S C D \left.\right)\),
- \(I\) không nằm trong (SCD), nhưng mặt phẳng (IBC) cắt mặt (SCD) theo một đường đi qua C.
- Gọi \(K = \left(\right. I B C \left.\right) \cap S D .\)
Vì \(S , D \in \left(\right. S C D \left.\right)\), nên \(K \in S D\).
⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right) = C K .\)
(4) Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right)\)
- \(I \in S A \subset \left(\right. S A D \left.\right)\),
- \(K \in S D \subset \left(\right. S A D \left.\right)\).
⟹ \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right) = I K .\)
4. Các điểm chung của thiết diện
Ta có bốn điểm:
Điểm | Thuộc cạnh | Mặt phẳng sinh ra |
|---|---|---|
I | SA | (SAB), (SAD) |
B | AB | (SAB), (SBC) |
C | CD | (SBC), (SCD) |
K | SD | (SCD), (SAD) |
⟹ Thiết diện là tứ giác \(I - B - C - K\).
5. Chứng minh hình dạng thiết diện là hình thang
Ta cần chứng minh:
\(I B \parallel C K .\)Chứng minh \(I B \parallel C K\):
Ta làm việc bằng quan hệ song song trong không gian.
- Trong đáy \(A B C D\) là hình bình hành, ta có \(A B \parallel C D\).
- Mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) chứa \(I B\) (đi qua \(I , B\)) và \(C\).
Mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\) chứa \(C D\) và \(S D\). - Đường \(K\) là giao điểm của \(\left(\right. I B C \left.\right)\) với \(S D\), nên trong \(\left(\right. S C D \left.\right)\), đoạn \(C K \subset \left(\right. S C D \left.\right)\).
⟹ \(C K\) nằm trong mặt phẳng \(\left(\right. S C D \left.\right)\), còn \(C D \subset \left(\right. S C D \left.\right)\).
- Vì \(A B \parallel C D\) và \(I\) là trung điểm của SA, nên mặt phẳng \(\left(\right. I B C \left.\right)\) có thể xem như mặt phẳng song song với mặt phẳng (SCD) theo hướng \(A B \parallel C D\).
Nói cách khác:
\(I B \parallel C K .\)6. Kết luận hình dạng thiết diện
Tứ giác \(I B C K\) có một cặp cạnh đối song song \(\left(\right. I B \parallel C K \left.\right)\)
⟹ Hình thang.
Kết luận cuối cùng:
\(\boxed{\text{Thi} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{di}ệ\text{n}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{ch} \overset{ˊ}{\text{o}} \text{p}\&\text{nbsp}; S . A B C D \&\text{nbsp};\text{c} \overset{ˊ}{\overset{ }{\text{a}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{b}ở\text{i}\&\text{nbsp};\text{m}ặ\text{t}\&\text{nbsp};\text{ph}ẳ\text{ng}\&\text{nbsp}; \left(\right. I B C \left.\right) \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˋ}{\imath} \text{nh}\&\text{nbsp};\text{thang}\&\text{nbsp}; I B C K , \&\text{nbsp};\text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; I B \parallel C K .}\)Tóm tắt lập luận ngắn gọn:
- \(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A B \left.\right) = I B , \left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S B C \left.\right) = B C ,\)
\(\left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S C D \left.\right) = C K , \left(\right. I B C \left.\right) \cap \left(\right. S A D \left.\right) = I K .\) - Thiết diện là tứ giác \(I B C K .\)
- Vì đáy là hình bình hành \(\left(\right. A B \parallel C D \left.\right)\) và \(I\) là trung điểm của \(S A\),
nên \(I B \parallel C K .\)
⟹ Thiết diện là hình thang ( IBCK.