phân tách \(x^2-x+2\)

=\(\left(\left(x-1\right)-1\right)^2-\left(\left(x-1\right)+1\right)+2\)

=\(\left(x-1\right)^2+2\left(x-1\right)+1-\left(x-1\right)-1+2\)

= \(2+1\left(x-1\right)+1\left(x-1\right)^2\)

thay vào biểu thức ban đầu:

\(\frac{\left(x^2-x+2\right)}{\left(x-1\right)^3}=\frac{2+1\left(x-1\right)+1\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)^3}\)

=\(\frac{2}{\left(x-1\right)^3}+\frac{1\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)^3}+\frac{1\left(x-1\right)^2}{\left(x-1\right)^3}\)

=\(\frac{2}{\left(x-1\right)^3}+\frac{1}{\left(x-1\right)^2}+\frac{1}{x-1}\)

=> A=2

B=1

C=1

b)\(\frac{A}{x-1}+\frac{\left(Bx+C\right)}{x^2+1}=\frac{A\left(x^2+1\right)+\left(x-1\right)\left(Bx+C\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)

\(A\left(x^2+1\right)+\left(Bx+C\right)\left(x-1\right)=Ax^2+A+Bx^2-Bx+Cx-C\)

=\(\left(A+B\right)x^2+\left(C-B\right)x+\left(A-C\right)\)

để hai tử thức bằng nhau

=> A+B=1

C-B=2=> C=2+B

A-C=-1=> A=C-1=> A=(2+B)-1=B+1

=> A+B=B+1+B=1=2B+1=1

=>2B=0

B=0

=> A=1

=> C=2

sửa đề: \(\left(\frac{x}{5}+\frac23\right)2=\left(\frac{x}{5}+\frac23\right)^2\)

ta có:\(\left(\frac25x+\frac13\right)^2-\left(\frac{x}{5}+\frac23\right)^2\)

=\(\left(\frac25x+\frac13-\frac{x}{5}-\frac23\right)\left(\frac25x+\frac13+\frac{x}{5}+\frac23\right)\) =\(\left(\frac15x-\frac13\right)\left(\frac35x+1\right)\)

=\(\frac15x\cdot\frac35x+\frac15x\cdot1-\frac13\cdot\frac35x-\frac13\cdot1\)

=\(\frac{3}{25}x^2+0x-\frac13\)

tương ứng với các giá trị

=> a=\(\frac{3}{25}\)

b=0

c=\(\frac13\)

ta nghịch đảo các phân số:

\(\frac{ab}{a+b}=\frac{bc}{b+c}=\frac{ac}{a+c}\)

=> \(\frac{\left(a+b\right)}{ab}=\frac{\left(b+c\right)}{bc}=\frac{\left(a+c\right)}{ac}\)

\(\frac{\left(a+b\right)}{ab}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)

\(\frac{\left(b+c\right)}{bc}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)

\(\frac{\left(a+c\right)}{ac}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\)

=> a=b=c

thay vào biểu thức H ta có:

H=\(\frac{\left(2a\cdot a+2a\cdot a\right)}{3a^2+a^2}=\frac{2a^2+2a^2}{4a^2}=1\)

a) xét △ABE vuông tại B và △ADF vuông tại D

ta có \widehat{BAE}+\widehat{EAD}=90 độ

ta lại có \widehat{DAF}+\widehat{EAD}= 90 độ

=> \widehat{BAE}=\widehat{DAF}

AB=AD

=> △ABE=△ADF(g.c.g)

=> AE=AF

a) xét △AEB và △AFC có:

góc AEB= góc AFC= 90 độ

góc A chung

=> △AEB~△AFC(g.g)

b) xét △FHA và △FBC có:

góc AFH= góc BFC= 90 độ

góc FAH= góc FCB( cùng phụ góc B)

=> △FHA~△FBC( g.g)

=>\(\frac{FA}{FC}=\frac{FH}{FB}\)

=> \(FA\cdot FB=FC\cdot FH\)

c) gọi D" là giao điểm của đường cao này hạ xuống BC

từ câu a)

=> \(\frac{AE}{AF}=\frac{AB}{AC}\Rightarrow\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Xét △AEF và △ABC

\(\frac{AE}{AB}=\frac{AF}{AC}\)

Góc A chung

=> △AEF~△ABC(c.g.c)

=> góc AEF= góc ABC(1)

xét △CEB vuông tại E và △CD"A vuông tại D

góc C chung

=> △CEB~△CD"A(g.g)

\(\Rightarrow\frac{CE}{CD\text{'}}=\frac{CB}{CA}\Rightarrow\frac{CE}{CB}=\frac{CD^{\prime}}{CA}\)

Xét △CD'E và △CBA

\(\frac{CE}{CB}=\frac{CD^{\prime}}{CA}\)

góc C chung

=> △CD'E~△CBA(c.g.c)

=> góc CED'= góc CBA(2)

từ (1)(2)=> góc AEF= góc CED'

vì A;E;C thẳng hàng

=> góc FEC= 180 độ- góc AEF

góc D'EC= 180 độ- góc CED'

=> góc FEC= góc D'EC

do G đối xứng F qua AC nên AC là đường trung trực của FG

=> △EFC~△EGC(c.g.c)

=> góc GEC= góc FEC

=> góc GEC= góc D'EC

vì F và D' nằm về hai phía với đường thẳng AC mà G đối xứng F qua AC nên G và D' phải nằm cùng phía với AC

do góc GEC= góc D'EC và hai điểm nằm của phía với nhau nên tia EG và ED' trung nhau

=> E,G,D' thẳng hàng

mà EG cắt BC tại D nên D phải trùng với D'

vì A,H,D' thẳng hàng nên A,H,D thẳng hàng

c) sửa đề CM: OI vuông FE

ta xét △FBC có:

O là trung điểm

góc BFC= 90 độ

=> FO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=>FO=1/2 BC \(\) (1)

Xét △EBC có:

O là trung điểm BC

EO là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> EO=1/2 BC(2)

từ (1)(2)=> FO=EO(3)

ta xét △AFH có:

I là trung điểm

góc AFH= 90 độ

=> FI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền

=> FI=IH

CMTT: △AEH

=> EI=IH

=> FI=IE

=> I là trung điểm FE(4)

xét △OFE có:

(3)(4)=> OI đường cao ứng với FE

bài 1:

ta có \(\frac{1}{1!}=1\)

\(\frac{1}{2!}=\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3}=\frac{1}{2\cdot3}\)

bắt đầu từ đây ta giảm mẫu số:

\(\frac{1}{4!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot3\cdot4}<\frac{1}{3\cdot4}\)

... tới \(\frac{1}{2012!}=\frac{1}{1\cdot2\cdot\ldots\cdot2011\cdot2012}<\frac{1}{2011\cdot2012}\)

thay vào biểu thức S

=> \(S<1+\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\frac{1}{3\cdot4}+\cdots+\frac{1}{2011\cdot2012}\)

áp dụng công thức: \(\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\)

=> \(S=1+1-\frac12+\frac12-\frac13+\frac13-\frac14+\cdots+\frac{1}{2011}-\frac{1}{2012}\)

\(S<2-\frac{1}{2012}\)

mà \(\frac{1}{2012}>0\)

=> \(S<2\)

bài 2:

Ta có công thức: \(\frac{1}{\left(n+1\right)!}=\frac{1}{n!}-\frac{1}{\left(n+1\right)!}\)

=> \(\frac{9}{10!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}\)

\(\frac{10}{11!}=\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}\)

\(\frac{11}{12!}=\frac{1}{11!}-\frac{1}{12!}\)

... tới: \(\frac{99}{100!}=\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

thay vào biểu thức ta gọi biểu thức là A

\(A=\frac{1}{9!}-\frac{1}{10!}+\frac{1}{10!}-\frac{1}{11!}+\cdots+\frac{1}{99!}-\frac{1}{100!}\)

A=\(\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}\)

mà \(\frac{1}{100!}>0\Rightarrow\frac{1}{9!}-\frac{1}{100!}<\frac{1}{9!}\)

vậy \(A<\frac{1}{9!}\)

ta có \(n^2>n\left(n-1\right)\)

khi 1 chia cho nó thì đổi dấu

\(\frac{1}{n^2}<\frac{1}{\left(n-1\right)n}\)

=> \(\frac12<\frac{1}{1\cdot2}\)

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{2\cdot3}\)

... tới: \(\frac{1}{2007^2}<\frac{1}{2006\cdot2007}\)

thay vào biểu thức ban đầu ta có:

\(\frac{1}{1\cdot2}+\frac{1}{2\cdot3}+\ldots+\frac{1}{2006\cdot2007}\)

=\(1-\frac12+\frac12-\frac13+.\ldots+\frac{1}{2006}-\frac{1}{2007}\)

=\(1-\frac{1}{2007}\)

vì \(\frac{1}{2007}>0\Longrightarrow1-\frac{1}{2007}<1\)

vậy biểu thức < hơn 1

b) ta có vì tất cả số hạng trong biểu thức đều là các số dương lớn hơn 0

mà:

\(\frac{1}{3^2}<\frac{1}{3^2}\)

\(\frac{1}{4^4}<\frac{1}{4^2}\)

... tới \(\frac{1}{50^{50}}<\frac{1}{50^2}\)

thay vào biểu thức ta có:

\(A<\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}\)

mà ta có CM ở câu a)

=> \(\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{50^2}<1\)

vậy 0< A<1 nên biểu thức ko thể là số tự nhiên

ôi bạn ơi mik cũng từng thế mà nhưng xong cũng ko hiểu sao lại 0gp chứ ko cũng dc tổng 13 gp òi:v