Giới thiệu về bản thân
Chào mừng bạn đến với trang cá nhân của Nguyễn Thảo Linh
0
0
0
0
0
0
0
2025-10-31 17:18:22
Dễ quá
2025-10-16 22:40:52
Xét 3 điểm bất kỳ
A,B,C𝐴,𝐵,𝐶. Các cạnh
AB,BC,CA𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴được gán các số tự nhiên. Giả sử các số được gán là
x,y,z𝑥,𝑦,𝑧. Theo điều kiện của bài toán, trong ba số
x,y,z𝑥,𝑦,𝑧phải có hai số bằng nhau và một số lớn hơn.
Ví dụ:
hoặc
y=z<x𝑦=𝑧<𝑥hoặc
z=x<y𝑧=𝑥<𝑦 Ta có 2006 điểm, mỗi điểm được nối với 2005 điểm còn lại. Tổng số đoạn thẳng là 2006×200522006×20052.Gọi các số được gán cho các cạnh là aij𝑎𝑖𝑗với i,j∈{1,2,...,2006}𝑖,𝑗∈{1,2,...,2006}và i≠j𝑖≠𝑗.
Theo điều kiện, với 3 điểm bất kỳ A,B,C𝐴,𝐵,𝐶, các số gán cho các cạnh AB,BC,CA𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴phải tuân theo quy tắc: hai số bằng nhau và một số lớn hơn.
Xét một điểm A𝐴bất kỳ. Ta có 2005 đoạn thẳng nối A𝐴với các điểm còn lại.
Để thỏa mãn điều kiện, ta có thể gán các số cho các cạnh như sau:
Gán số 11cho tất cả các cạnh nối từ một điểm bất kỳ A𝐴đến 2005 điểm còn lại.
Khi đó, xét một tam giác bất kỳ ABC𝐴𝐵𝐶.
- Cạnh AB𝐴𝐵được gán số 11.
- Cạnh AC𝐴𝐶được gán số 11.
- Cạnh BC𝐵𝐶được gán một số khác.
Như vậy, ta cần ít nhất hai loại số: số 11và một số lớn hơn 11.
Số lớn hơn 11có thể là 22.
Vậy ta có thể gán số 11cho tất cả các cạnh nối từ một điểm A𝐴đến các điểm khác. Các cạnh còn lại (không nối với A𝐴) sẽ được gán số 22.
Với cách gán này, xét một tam giác bất kỳ ABC𝐴𝐵𝐶:
- Nếu tam giác có đỉnh A𝐴: hai cạnh AB𝐴𝐵và AC𝐴𝐶được gán số 11, cạnh BC𝐵𝐶không nối với A𝐴nên được gán số 22. Điều kiện thỏa mãn: 1=1<21=1<2.
- Nếu tam giác không có đỉnh A𝐴: các cạnh BC,BD,CD𝐵𝐶,𝐵𝐷,𝐶𝐷đều không nối với A𝐴, nên tất cả đều được gán số 22. Điều này không thỏa mãn điều kiện của bài toán (phải có hai số bằng nhau và một số lớn hơn).
Xét một điểm bất kỳ A1𝐴1. Ta có thể gán các số 1,2,...,k1,2,...,𝑘cho các cạnh nối từ A1𝐴1đến các điểm còn lại.
Với N=2006𝑁=2006điểm, ta có thể chia các điểm thành hai tập hợp V1𝑉1và V2𝑉2.
Gán số 11cho tất cả các cạnh nối hai điểm bất kỳ trong cùng một tập hợp.
Gán số 22cho tất cả các cạnh nối một điểm trong V1𝑉1với một điểm trong V2𝑉2.
Xét một tam giác ABC𝐴𝐵𝐶:
- Nếu A,B,C𝐴,𝐵,𝐶cùng thuộc một tập hợp (ví dụ V1𝑉1), các cạnh AB,BC,CA𝐴𝐵,𝐵𝐶,𝐶𝐴đều được gán số 11. Điều này không thỏa mãn.
- Nếu hai đỉnh thuộc một tập hợp và một đỉnh thuộc tập hợp còn lại (ví dụ A,B∈V1𝐴,𝐵∈𝑉1và C∈V2𝐶∈𝑉2), các cạnh AC,BC𝐴𝐶,𝐵𝐶được gán số 22, cạnh AB𝐴𝐵được gán số 11. Điều này thỏa mãn: 2=2>12=2>1.
Với N=2006𝑁=2006điểm, ta có thể chia các điểm thành m𝑚tập hợp.
Gán số i𝑖cho các cạnh nối hai điểm trong tập hợp thứ i𝑖.
Gán số j𝑗cho các cạnh nối hai điểm ở hai tập hợp khác nhau.
Điều này rất phức tạp. Quay lại cách tiếp cận đơn giản hơn. Xét 3 điểm A,B,C𝐴,𝐵,𝐶. Cần có hai cạnh bằng nhau và một cạnh lớn hơn.
Điều này có nghĩa là ta có thể gán các số 1,2,...,m1,2,...,𝑚cho các cạnh.
Một cách gán đơn giản là gán số 11cho tất cả các cạnh. Điều này không thỏa mãn.
Gán số 11cho một số cạnh và số 22cho các cạnh còn lại.
Xét một tam giác ABC𝐴𝐵𝐶.
Nếu hai cạnh được gán số 11, cạnh còn lại phải được gán số 22.
Nếu hai cạnh được gán số 22, cạnh còn lại phải được gán số 11.
Nếu một cạnh được gán số 11và hai cạnh được gán số 22, điều kiện thỏa mãn.
Nếu một cạnh được gán số 22và hai cạnh được gán số 11, điều kiện thỏa mãn.
Nếu ba cạnh được gán số 11hoặc ba cạnh được gán số 22, điều kiện không thỏa mãn.
Điều này có nghĩa là không được có tam giác nào mà các cạnh đều được gán số 11hoặc đều được gán số 22.
Với 2006 điểm, ta có thể tô màu các cạnh bằng hai màu (tương ứng với số 11và số 22). Bài toán trở thành tìm số nhỏ nhất của màu sắc để không có tam giác đơn sắc.
Theo định lý Ramsey, R(3,3)=6𝑅(3,3)=6. Điều này có nghĩa là với 6 đỉnh, luôn tồn tại một tam giác đơn sắc.
Với 2006 điểm, chắc chắn sẽ có tam giác đơn sắc.
Như vậy, cách gán hai số 1,21,2không thỏa mãn. Ta cần thêm một số nữa, ví dụ số 33.
Gán các số 1,2,31,2,3cho các cạnh.
Trong một tam giác, các cạnh được gán các số a,b,c𝑎,𝑏,𝑐. Phải có a=b<c𝑎=𝑏<𝑐(hoặc hoán vị).
Ví dụ: (1,1,2),(1,1,3),(2,2,3),(2,2,1),(3,3,1),(3,3,2)(1,1,2),(1,1,3),(2,2,3),(2,2,1),(3,3,1),(3,3,2).
Các bộ số không thỏa mãn là (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3)(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3), v.v.
Để tránh bộ (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3)(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3), ta có thể gán các số cho các cạnh sao cho không có tam giác đơn sắc.
Với N=2006𝑁=2006, ta có thể tô màu các cạnh bằng 3 màu. Theo định lý Ramsey, R(3,3,3)𝑅(3,3,3)là số đỉnh nhỏ nhất để đảm bảo có một tam giác đơn sắc với 3 màu. R(3,3,3)𝑅(3,3,3)có giá trị là 17.
Với 2006 điểm, chắc chắn có tam giác đơn sắc.
Như vậy, ta không thể tránh được tam giác đơn sắc.
Khi có tam giác đơn sắc, ví dụ các cạnh được gán số 11, thì điều kiện không thỏa mãn. Vậy ta cần một cách gán khác.
Giả sử ta gán các số 1,2,...,m1,2,...,𝑚cho các cạnh.
Xét 3 điểm bất kỳ A,B,C𝐴,𝐵,𝐶. Giả sử cạnh AB𝐴𝐵được gán số a𝑎, cạnh BC𝐵𝐶được gán số b𝑏và cạnh CA𝐶𝐴được gán số c𝑐.
Điều kiện: hai trong ba số a,b,c𝑎,𝑏,𝑐bằng nhau và số còn lại lớn hơn.
Ví dụ: a=b<c𝑎=𝑏<𝑐.
Ta có thể gán các số cho các cạnh như sau:
Chọn một điểm A1𝐴1.
Gán số 11cho tất cả các cạnh nối A1𝐴1với các điểm còn lại.
Xét 3 điểm A1,A2,A3𝐴1,𝐴2,𝐴3. Cạnh A1A2𝐴1𝐴2được gán số 11, cạnh A1A3𝐴1𝐴3được gán số 11.
Cạnh A2A3𝐴2𝐴3phải được gán một số lớn hơn 11.
Ta có thể gán số 22cho tất cả các cạnh không nối với A1𝐴1.
Khi đó, xét một tam giác A1A2A3𝐴1𝐴2𝐴3: các cạnh A1A2,A1A3𝐴1𝐴2,𝐴1𝐴3được gán số 11, cạnh A2A3𝐴2𝐴3được gán số 22. Điều kiện thỏa mãn.
Xét một tam giác A2A3A4𝐴2𝐴3𝐴4(không có đỉnh A1𝐴1). Các cạnh A2A3,A3A4,A4A2𝐴2𝐴3,𝐴3𝐴4,𝐴4𝐴2đều được gán số 22. Điều này không thỏa mãn. Vậy cách gán này không đúng.
Ta cần một cách gán sao cho không có tam giác nào mà các cạnh đều được gán cùng một số.
Và với mỗi tam giác, phải có hai cạnh bằng nhau và một cạnh lớn hơn.
Điều này có nghĩa là, với một tam giác, các số gán cho các cạnh không thể là (a,a,a)(𝑎,𝑎,𝑎)hoặc (a,b,c)(𝑎,𝑏,𝑐)với a,b,c𝑎,𝑏,𝑐đôi một khác nhau.
Các bộ số thỏa mãn là (a,a,b)(𝑎,𝑎,𝑏)với a<b𝑎<𝑏. Xét một điểm A𝐴. Các cạnh nối từ A𝐴đến các điểm khác có thể được gán các số khác nhau.
Giả sử ta gán số 11cho các cạnh nối A𝐴đến một tập hợp các điểm S1𝑆1. Gán số 22cho các cạnh nối A𝐴đến một tập hợp các điểm S2𝑆2, v.v.
Các cạnh nối hai điểm trong cùng một tập hợp Si𝑆𝑖phải được gán một số lớn hơn.
Ví dụ:
Chia 2006 điểm thành 2 tập hợp V1,V2𝑉1,𝑉2(mỗi tập 1003 điểm).
Gán số 11cho các cạnh nối hai điểm trong cùng một tập hợp.
Gán số 22cho các cạnh nối một điểm trong V1𝑉1với một điểm trong V2𝑉2.
Xét một tam giác ABC𝐴𝐵𝐶:
- Nếu A,B,C𝐴,𝐵,𝐶cùng thuộc V1𝑉1hoặc V2𝑉2, các cạnh đều được gán số 11. Không thỏa mãn.
- Nếu A,B∈V1𝐴,𝐵∈𝑉1và C∈V2𝐶∈𝑉2, cạnh AB𝐴𝐵được gán số 11, cạnh AC,BC𝐴𝐶,𝐵𝐶được gán số 22. Thỏa mãn.
Xét 3 điểm bất kỳ A,B,C𝐴,𝐵,𝐶.
Gán số f(A,B)𝑓(𝐴,𝐵)cho cạnh AB𝐴𝐵.
Ta cần f(A,B)=f(B,C)<f(C,A)𝑓(𝐴,𝐵)=𝑓(𝐵,𝐶)<𝑓(𝐶,𝐴)hoặc hoán vị.
Điều này rất giống với định lý Schur.
Định lý Schur phát biểu rằng với n𝑛đủ lớn, khi ta tô màu các số nguyên từ 11đến n𝑛bằng k𝑘màu, luôn tồn tại một bộ ba số (x,y,z)(𝑥,𝑦,𝑧)cùng màu sao cho x+y=z𝑥+𝑦=𝑧.
Bài toán này có vẻ liên quan đến lý thuyết Ramsey. Xét một cách gán đơn giản nhất.
Với 2006 điểm, ta có thể gán các số cho các cạnh như sau:
Gán số 11cho tất cả các cạnh. Điều này không thỏa mãn.
Gán số 11cho một số cạnh, số 22cho một số cạnh khác.
Với 2006 điểm, ta có thể chia thành hai tập hợp V1,V2𝑉1,𝑉2.
Gán số 11cho các cạnh nối hai điểm trong cùng một tập.
Gán số 22cho các cạnh nối hai điểm ở hai tập khác nhau.
Như đã phân tích ở trên, sẽ có tam giác đơn sắc. Ta cần ít nhất 3 số.
Gán các số 1,2,31,2,3.
Xét 3 điểm A,B,C𝐴,𝐵,𝐶. Các cạnh được gán a,b,c𝑎,𝑏,𝑐.
Cần có (a,b,c)(𝑎,𝑏,𝑐)là hoán vị của (1,1,2),(1,1,3),(2,2,1),(2,2,3),(3,3,1),(3,3,2)(1,1,2),(1,1,3),(2,2,1),(2,2,3),(3,3,1),(3,3,2).
Các bộ không thỏa mãn là (1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),...(1,1,1),(2,2,2),(3,3,3),(1,2,3),(1,3,2),(2,1,3),... Giả sử m=2𝑚=2. Ta đã chứng minh không thể.
Giả sử m=3𝑚=3.
Ta có thể gán các số 1,2,31,2,3cho các cạnh.
Ta cần đảm bảo không có tam giác đơn sắc và không có tam giác mà các cạnh được gán các số đôi một khác nhau.
Điều này là không thể. Với 2006 điểm, luôn tồn tại tam giác đơn sắc.
Như vậy, ta phải tìm một cách gán khác. Xét lại điều kiện: "mỗi tam giác tạo bởi ba điểm bất kì trong số các điểm đó đều có hai cạnh được gán bởi hai số bằng nhau và cạnh còn lại được gán bởi số lớn hơn hai số đó".
Điều này có nghĩa là các số gán cho các cạnh của một tam giác phải có dạng (a,a,b)(𝑎,𝑎,𝑏)với a<b𝑎<𝑏.
Giả sử m𝑚là số tốt nhỏ nhất.
Khi đó, ta có thể gán các số từ 11đến m𝑚cho các cạnh.
Xét một điểm P𝑃.
Các cạnh nối từ P𝑃đến các điểm còn lại.
Giả sử có k𝑘cạnh được gán số x𝑥. k≤2005𝑘≤2005.
Xét hai điểm A,B𝐴,𝐵sao cho PA,PB𝑃𝐴,𝑃𝐵đều được gán số x𝑥.
Khi đó, cạnh AB𝐴𝐵phải được gán một số lớn hơn x𝑥.
Giả sử ta gán các số cho các cạnh như sau:
Gán số 11cho các cạnh nối từ một điểm P𝑃đến một số điểm khác.
Gán số 22cho các cạnh còn lại.
Như đã phân tích, cách này không thỏa mãn. Ta cần một cách gán sao cho với mọi tam giác, điều kiện được thỏa mãn.
Với N𝑁điểm, ta có thể chia thành k𝑘nhóm.
Gán số 11cho các cạnh nối hai điểm trong cùng một nhóm.
Gán số 22cho các cạnh nối hai điểm khác nhóm.
Điều này không thỏa mãn. Ta có thể xây dựng một cách gán như sau:
Gán số 11cho tất cả các cạnh. Không thỏa mãn.
Gán số 22cho tất cả các cạnh. Không thỏa mãn.
Gán số 11cho một số cạnh, số 22cho một số cạnh khác.
Với 2006 điểm, ta có thể chia thành hai tập hợp V1,V2𝑉1,𝑉2.
Gán số 11cho các cạnh nối hai điểm trong cùng một tập hợp.
Gán số 22cho các cạnh nối hai điểm khác tập hợp.
Tam giác có 3 đỉnh cùng tập hợp sẽ có 3 cạnh gán số 11. Không thỏa mãn.
Tam giác có 2 đỉnh ở V1𝑉1và 1 đỉnh ở V2𝑉2sẽ có 2 cạnh gán số 22và 1 cạnh gán số 11. Thỏa mãn. Vậy, ta cần một cách gán khác để loại bỏ tam giác đơn sắc.
Ta có thể gán các số cho các cạnh dựa trên chỉ số của các điểm.
Đánh số các điểm từ 11đến 20062006.
Gán số cho cạnh nối điểm i𝑖và điểm j𝑗là f(i,j)𝑓(𝑖,𝑗).
Ví dụ: f(i,j)=|i−j|𝑓(𝑖,𝑗)=|𝑖−𝑗|.
Xét 3 điểm i,j,k𝑖,𝑗,𝑘. Các cạnh được gán số |i−j|,|j−k|,|k−i||𝑖−𝑗|,|𝑗−𝑘|,|𝑘−𝑖|.
Giả sử i<j<k𝑖<𝑗<𝑘. Các số là j−i,k−j,k−i𝑗−𝑖,𝑘−𝑗,𝑘−𝑖.
Ta có (j−i)+(k−j)=k−i(𝑗−𝑖)+(𝑘−𝑗)=𝑘−𝑖.
Như vậy, không có hai số nào bằng nhau.