) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

Xét tam giác \(\triangle A B C\).
Ta có \(M\) là trung điểm của cạnh \(A C\).
Theo giả thiết, ta có \(B M = \frac{1}{2} A C\).
Vì \(M\) là trung điểm của \(A C\), nên \(A M = M C = \frac{1}{2} A C\).
Do đó, \(B M = A M = M C\).
Điều này cho thấy \(B\) cách đều \(A\), \(M\), \(C\). Cụ thể, \(B\) nằm trên đường tròn tâm \(M\) bán kính \(A M\).
Trong tam giác \(\triangle A B C\), đường trung tuyến \(B M\) ứng với cạnh \(A C\) có độ dài bằng một nửa cạnh \(A C\). Đây là tính chất của tam giác vuông, chứng tỏ \(\triangle A B C\) là tam giác vuông có góc vuông tại \(B\).
Vậy, \(\angle A B C = 9 0^{\circ}\).

Ta đã biết các góc của tứ giác \(A B C D\) như sau:
\(\angle A = 9 0^{\circ}\) (theo giả thiết)
\(\angle D = 9 0^{\circ}\) (theo giả thiết)
\(\angle A B C = 9 0^{\circ}\) (vừa chứng minh ở trên)

Tổng các góc trong một tứ giác bằng \(36 0^{\circ}\).
Do đó, \(\angle B C D = 36 0^{\circ} - \left(\right. \angle A + \angle A B C + \angle D \left.\right)\)
\(\angle B C D = 36 0^{\circ} - \left(\right. 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} + 9 0^{\circ} \left.\right)\)
\(\angle B C D = 36 0^{\circ} - 27 0^{\circ}\)
\(\angle B C D = 9 0^{\circ}\).

Vì cả bốn góc trong của tứ giác \(A B C D\) đều bằng \(9 0^{\circ}\) (\(\angle A = \angle A B C = \angle B C D = \angle D = 9 0^{\circ}\)), nên tứ giác \(A B C D\) là một hình chữ nhật.

• Vì \(I\) là trung điểm của \(A C\) (giả thiết), suy ra \(A I = I C\).
• Vì \(I H = I D\) (giả thiết), suy ra \(I\) là trung điểm của \(H D\).

Xét tứ giác \(A H C D\) có:

• \(I\) là trung điểm của \(A C\)
• \(I\) là trung điểm của \(H D\)

Suy ra \(A H C D\) là hình bình hành (tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường).

1. Chứng minh \(A H C D\) có một góc vuông:

• Vì \(A H\) là đường cao của tam giác \(A B C\), suy ra \(\angle A H C = 9 0^{\circ}\).

Vì \(A H C D\) là hình bình hành (chứng minh trên) và \(\angle A H C = 9 0^{\circ}\), suy ra \(A H C D\) là hình chữ nhật (hình bình hành có một góc vuông).

Vậy, tứ giác \(A H C D\) là hình chữ nhật.