a) Ta có: \(A x ⊥ A C\) và \(B y\) // \(A C\)

Suy ra \(A x ⊥ B y\) \(\Rightarrow \hat{A M B} = 9 0^{\circ}\).

Xét \(\Delta M A Q\) và \(\Delta Q B M\) có

\(\hat{M Q A} = \hat{B M Q}\) (so le trong);

\(M Q\) là cạnh chung;

\(\hat{A M Q} = \hat{B Q M}\) (\(A x\) // \(Q B\)).

Suy ra \(\Delta M A Q = \&\text{nbsp}; \Delta Q B M\) (g-c-g)

Suy ra \(\hat{M B Q} = \hat{M A Q} = 9 0^{\circ}\) (2 góc tương ứng)

Xét tứ giác \(A M B Q\) có: \(\hat{Q A M} = \hat{A M B} = \hat{M B Q} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

b) Do tứ giác \(A M B Q\) là hình chữ nhật.

Mà \(P\) là trung điểm AB\(n \hat{e} n\)PQ=\dfrac{1}{2}AB$ (1)

Xét \(\Delta A I B\) vuông tại \(I\) và có \(I P\) là đường trung tuyến.

Suy ra \(I P = \frac{1}{2} A B\) (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow Q P = I P \Rightarrow \Delta P Q I\) cân tại \(P\).

Vì \(A B C D\) là hình thang vuông có \(\hat{A} = \hat{D} = 90^{\circ}\) nên ta có \(A B \bot A D\) và \(A D \bot D C\), đồng thời \(A B \parallel C D\).

Gọi \(M\) là trung điểm của \(A C\) nên \(A M = M C = \frac{1}{2} A C\). Theo giả thiết, \(B M = \frac{1}{2} A C\) nên \(B M = A M = M C\).

Suy ra tam giác \(A B M\) cân tại \(M\) và tam giác \(C B M\) cũng cân tại \(M\). Vì hai tam giác này chung cạnh đáy \(B C\), ta có \(A B = C D\).

Ta lại có \(A B \parallel C D\) (vì hình thang) và \(A B = C D\) (vì vừa chứng minh được). Do đó hình thang \(A B C D\) có hai cạnh đối song song và bằng nhau.

Suy ra \(A B C D\) là hình chữ nhật.

Cho tam giác \(A B C\) có đường cao \(A H\). Gọi \(I\) là trung điểm của cạnh \(A C\). Lấy điểm \(D\) thuộc tia \(H I\) sao cho \(I H = I D\). Chứng minh tứ giác \(A H C D\) là hình chữ nhật.

Vì \(I\) là trung điểm của \(A C\) và \(I H = I D\) nên \(I\) cũng là trung điểm của \(H D\). Suy ra \(A C \parallel H D\) và \(A C = H D\).
Ta có \(A H\) là đường cao của tam giác \(A B C\) nên \(A H \bot B C\). Mà \(A C\) nằm trong tam giác \(A B C\), do đó \(A H \bot A C\). Vì \(A C \parallel H D\) nên \(A H \bot H D\).

Vậy trong tứ giác \(A H C D\), ta có \(A C \parallel H D\) và \(A H \bot H D\), đồng thời \(A H \parallel C D\) (vì cùng vuông góc với \(A C\)). Do đó tứ giác \(A H C D\) có hai cặp cạnh đối song song và có một góc vuông.

Suy ra tứ giác \(A H C D\) là hình chữ nhật.