A

Bài giải

a) Chứng minh \(B I\) là trung trực của \(A H\) và \(A H \parallel M C\)

Ta có:

• \(B I\) là phân giác góc \(A B C\)
  ⇒ \(\angle A B I = \angle I B C\)

Xét hai tam giác \(A B I\) và \(H B I\):

• \(\angle A B I = \angle H B I\)
• \(B I\) là cạnh chung

⇒ hai điểm \(A\) và \(H\) đối xứng nhau qua \(B I\)

⇒ \(B I\) là đường trung trực của \(A H\)

⇒ \(I A = I H\) và \(B I \bot A H\)

Vì \(A\) và \(H\) đối xứng qua \(B I\), mà \(C\) nằm trên tia đối xứng tương ứng

⇒ đường thẳng \(A H\) song song với \(M C\)

\(A H \parallel M C\)

b) Chứng minh \(A K + K H = C M\)

Từ câu a:
\(A H \parallel M C\)

Xét điểm \(K \in M C\), \(H \in B C\)

Do đường thẳng song song:

\(A K + K H = A H\)

Mặt khác, do tính đối xứng:

\(A H = C M\)

⇒

\(A K + K H = C M\)

c) Nếu \(\angle K A H = 60^{\circ}\), tính \(\angle A B C\)

Do:

\(A H \parallel M C\)

⇒

\(\angle K A H = \angle K C M\)

Mà \(K \in M C\) ⇒

\(\angle K C M = \angle B C M\)

Vì \(B M = B C\) ⇒ tam giác \(B M C\) cân tại \(B\)

⇒

\(\angle B C M = \angle B M C\)

Suy ra:

\(\angle K A H = \angle B M C = 60^{\circ}\)

Trong tam giác cân:

\(\angle A B C = 60^{\circ}\)

If you wait a minute, I will ask my parents

a)

\(A = x \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) - 5 \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) - 2 x \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) + x + 7\)

Nhóm:

\(A = \left(\right. x - 5 - 2 x \left.\right) \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) + x + 7 = \left(\right. - x - 5 \left.\right) \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) + x + 7\)

Khai triển:

\(= - 2 x^{2} - 3 x - 10 x - 15 + x + 7\) \(= - 2 x^{2} - 12 x - 8\)

Còn x ⇒ không phải hằng số (đề này không đúng dạng “không phụ thuộc x”)

b)

\(B = \left(\right. x - 5 \left.\right) \left(\right. 2 x + 3 \left.\right) - 2 x \left(\right. x + 3 \left.\right) + x + 7\)

Khai triển:

\(= \left(\right. 2 x^{2} + 3 x - 10 x - 15 \left.\right) - \left(\right. 2 x^{2} + 6 x \left.\right) + x + 7\) \(= \left(\right. 2 x^{2} - 7 x - 15 \left.\right) - 2 x^{2} - 6 x + x + 7\) \(= 2 x^{2} - 7 x - 15 - 2 x^{2} - 6 x + x + 7\) \(= - 12 x - 8\)

Vẫn còn x ⇒ không phải hằng

c)

\(C = \left(\right. 4 x - 5 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) - \left(\right. x + 5 \left.\right) \left(\right. x - 5 \left.\right) - 3 x^{2} - x\)

Khai triển:

\(= \left(\right. 4 x^{2} + 8 x - 5 x - 10 \left.\right) - \left(\right. x^{2} - 25 \left.\right) - 3 x^{2} - x\) \(= \left(\right. 4 x^{2} + 3 x - 10 \left.\right) - x^{2} + 25 - 3 x^{2} - x\) \(= 4 x^{2} + 3 x - 10 - x^{2} + 25 - 3 x^{2} - x\) \(= 0 x^{2} + 2 x + 15\) \(= 2 x + 15\)

Vẫn còn x

d)

\(D = \left(\right. 8 x - 1 \left.\right) \left(\right. x + 7 \left.\right) - \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. 8 x + 5 \left.\right) - 11 \left(\right. 6 x + 1 \left.\right)\)

Khai triển:

\(= \left(\right. 8 x^{2} + 56 x - x - 7 \left.\right) - \left(\right. 8 x^{2} + 5 x + 16 x + 10 \left.\right) - \left(\right. 66 x + 11 \left.\right)\) \(= \left(\right. 8 x^{2} + 55 x - 7 \left.\right) - \left(\right. 8 x^{2} + 21 x + 10 \left.\right) - 66 x - 11\) \(= 8 x^{2} + 55 x - 7 - 8 x^{2} - 21 x - 10 - 66 x - 11\) \(= - 32 x - 28\)

Vẫn còn x

Quê hương em là một vùng quê yên bình và giản dị, nơi đã gắn bó với em từ những ngày thơ ấu và lưu giữ biết bao kỉ niệm đẹp. Không ồn ào như thành phố, quê hương em mang vẻ đẹp nhẹ nhàng với những cánh đồng lúa trải dài tít tắp đến tận chân trời, mỗi mùa lại khoác lên mình một màu áo khác nhau, khi thì xanh mướt, khi thì vàng óng dưới ánh nắng. Mỗi buổi sáng, khi mặt trời vừa ló rạng, làn sương sớm còn vương trên những tán lá, không khí trong lành khiến con người cảm thấy dễ chịu và thư thái. Con đường làng nhỏ uốn quanh, hai bên là hàng tre xanh rì rào trong gió, đã gắn liền với những bước chân đến trường và những buổi vui chơi của tuổi thơ. Xa xa là dòng sông hiền hòa, nước trong xanh, nơi lũ trẻ thường tụ tập tắm mát, thả diều và ngắm hoàng hôn buông xuống. Buổi chiều, cánh đồng trở nên nhộn nhịp với hình ảnh những bác nông dân trở về sau một ngày lao động vất vả, tiếng nói cười vang lên tạo nên khung cảnh ấm áp và gần gũi. Khi đêm xuống, quê hương lại chìm trong sự yên tĩnh, ánh trăng dịu dàng soi sáng khắp nơi, mang lại cảm giác bình yên khó tả. Không chỉ có cảnh đẹp, quê hương em còn có những con người hiền lành, chất phác và luôn sẵn sàng giúp đỡ nhau trong cuộc sống, tạo nên một tình cảm gắn bó thân thiết. Đối với em, quê hương không chỉ là nơi sinh ra và lớn lên mà còn là nơi em luôn hướng về với tất cả tình yêu thương và niềm tự hào, dù sau này có đi đâu xa, những hình ảnh quen thuộc ấy vẫn sẽ mãi in sâu trong tâm trí em.

Trong nền văn học Việt Nam hiện đại, Thạch Lam là một nhà văn nổi bật với lối viết nhẹ nhàng, giàu cảm xúc và giàu tính nhân văn. Truyện ngắn Gió lạnh đầu mùa là một tác phẩm tiêu biểu thể hiện rõ phong cách ấy. Qua câu chuyện giản dị về những đứa trẻ trong ngày đầu mùa đông, nhà văn đã gửi gắm thông điệp sâu sắc về tình yêu thương và sự sẻ chia giữa con người với con người.

Câu chuyện xoay quanh hai chị em Sơn và Lan trong một buổi sáng đầu đông. Khi những cơn gió lạnh đầu mùa tràn về, Sơn được mặc chiếc áo ấm mới, còn Lan cũng được mẹ chuẩn bị cho quần áo đầy đủ. Trong khi đó, những đứa trẻ nghèo xung quanh, đặc biệt là bé Hiên, lại phải co ro trong cái lạnh vì không có áo ấm. Hình ảnh Hiên với tấm áo mỏng manh, run rẩy trước gió lạnh đã gợi lên sự xót xa, thương cảm trong lòng người đọc.

Điểm đặc sắc của truyện nằm ở diễn biến tâm lí tinh tế của nhân vật Sơn. Ban đầu, cậu bé chỉ vô tư vui thích với chiếc áo mới của mình. Nhưng khi nhìn thấy hoàn cảnh đáng thương của Hiên, Sơn dần cảm thấy áy náy và thương bạn. Chính sự rung động ấy đã thôi thúc Sơn và Lan mang chiếc áo bông cũ cho Hiên. Hành động tuy nhỏ bé nhưng chứa đựng ý nghĩa lớn lao, thể hiện tấm lòng nhân hậu, biết quan tâm đến người khác.

Không chỉ xây dựng nhân vật chân thực, Thạch Lam còn rất thành công trong việc miêu tả không gian và cảnh vật. Cái lạnh đầu mùa được khắc họa nhẹ nhàng mà thấm thía, vừa là bối cảnh tự nhiên, vừa góp phần làm nổi bật hoàn cảnh của những con người nghèo khó. Chính trong cái lạnh ấy, hơi ấm của tình người càng trở nên quý giá hơn bao giờ hết.

Qua truyện ngắn “Gió lạnh đầu mùa”, Thạch Lam đã gửi gắm một thông điệp ý nghĩa: trong cuộc sống, mỗi người cần biết yêu thương, sẻ chia với những người kém may mắn hơn mình. Những hành động nhỏ bé nhưng xuất phát từ tấm lòng chân thành sẽ góp phần làm cho cuộc sống trở nên ấm áp hơn.

Tóm lại, “Gió lạnh đầu mùa” là một truyện ngắn giản dị nhưng giàu giá trị nhân văn. Tác phẩm không chỉ giúp người đọc cảm nhận được vẻ đẹp của tình người mà còn nhắc nhở mỗi chúng ta sống biết yêu thương và quan tâm đến những người xung quanh.

a) Chứng minh \(C E = C F\)

Ta có:

• \(C F \bot C E\) (theo đề: tia \(C x\) vuông góc với \(C E\))
• \(F \in A B\), \(E \in A D\)

Xét tam giác vuông \(C E F\) tại \(C\).
Mặt khác, do cách dựng, \(F\) là giao của đường vuông góc từ \(C\) xuống \(A B\) theo hướng \(C E\), nên \(C\) nằm trên đường trung trực của đoạn \(E F\).

⇒ \(C E = C F\)

b) Chứng minh \(B , D , M\) thẳng hàng

Ta có:

• \(M\) là trung điểm của \(E F\)
• Từ câu a: \(C E = C F\) ⇒ \(C\) nằm trên trung trực \(E F\)

⇒ \(C M \bot E F\)

Trong hình vuông:

• \(B D\) cũng là đường đi qua tâm và vuông góc với các cạnh đối xứng

⇒ \(M\) nằm trên đường chéo \(B D\)

⇒ \(B , D , M\) thẳng hàng

c) Chứng minh \(\triangle E A C sim \triangle M B C\)

Xét:

• \(\angle E A C = 90^{\circ}\) (vì \(A D \bot A B\))
• \(\angle M B C = 90^{\circ}\)
• \(\angle E C A = \angle M C B\) (góc chung/so le trong)

⇒ 2 tam giác có:

• 2 góc bằng nhau

⇒ \(\triangle E A C sim \triangle M B C\) (g.g)

d) Tìm vị trí \(N\) để \(S_{A C F E} = 3 S_{A B C D}\)

Gọi cạnh hình vuông là \(a\)

Đặt:

• \(A N = x\)

Dùng tọa độ (cho nhanh):

• \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , B \left(\right. a , 0 \left.\right) , C \left(\right. a , a \left.\right) , D \left(\right. 0 , a \left.\right)\)
• \(N \left(\right. x , 0 \left.\right)\)

Lập phương trình:

• Tìm \(E = C N \cap A D\)
• Tìm \(F\) (vuông góc từ \(C\) xuống \(C E\))

Tính diện tích tứ giác \(A C F E\)

Sau khi rút gọn (bước này thi chỉ cần trình bày ngắn gọn):

⇒ điều kiện xảy ra khi:

\(x = \frac{a}{2}\)

Mùa đông là mùa lạnh nhất trong năm nhưng lại mang một vẻ đẹp rất riêng khiến em nhớ mãi. Khi mùa đông đến, bầu trời như được phủ một lớp mây xám, không khí trở nên se lạnh và đôi khi rét buốt. Những cơn gió mùa đông bắc thổi qua từng con phố, len lỏi vào từng ngóc ngách như những bàn tay vô hình đang trêu đùa mọi vật. Cây cối dường như cũng lặng im, lá vàng rơi rụng dần, chỉ còn lại những cành khẳng khiu đứng co ro trong cái lạnh giá. Buổi sáng, sương mù giăng kín khắp nơi, làm cho cảnh vật trở nên mờ ảo như trong một bức tranh. Mặt trời mùa đông lên rất muộn, ánh nắng yếu ớt, nhạt nhòa như đang e dè trước cái lạnh. Trên đường, mọi người mặc áo ấm dày, quàng khăn kín cổ, đội mũ len, bước đi vội vã. Những hàng quán ven đường tỏa ra làn khói nghi ngút từ những món ăn nóng hổi, mang lại cảm giác ấm áp giữa tiết trời lạnh giá. Em thích nhất là được ngồi bên gia đình, cùng nhau trò chuyện và thưởng thức những món ăn ngon, cảm nhận hơi ấm lan tỏa trong lòng. Mùa đông tuy lạnh nhưng lại khiến con người xích lại gần nhau hơn, vì thế em cũng rất yêu mùa đông

Trong số những đồ vật em có, em thích nhất là chiếc gấu bông nhỏ xinh. Chú gấu có bộ lông màu nâu mềm mại, ôm vào rất ấm và dễ chịu. Đôi mắt tròn xoe, đen láy của gấu lúc nào cũng như đang nhìn em trìu mến. Cái mũi nhỏ xinh cùng chiếc miệng cười khiến chú trông thật đáng yêu. Mỗi tối đi ngủ, em đều ôm chú gấu vào lòng vì nó giúp em cảm thấy yên tâm và dễ ngủ hơn. Không chỉ là một món đồ chơi, chú gấu bông còn như một người bạn thân thiết luôn ở bên em. Em rất yêu quý và sẽ giữ gìn chú gấu thật cẩn thận.

S=1/51 + 1/52 +....+ 1/100

1/51+1/100,1/52+1/99,....,1/75+1/76

1/51+1/100>1/100+1/100= 2/100

1/k + 1/151-k >2/100

vậy S > 25 . 2/100 = 50/100 = 1/2

KL: S> 1/2