Ta có:

AH cắt BD, CK cắt BD => AH // CK (1)

tam giác ABH và tam giác CDK có:

ˆAHB=ˆCKD (= 90°)

ˆABH=ˆCDK (2 góc so le trong)

AB = CD (tính chất hình bình hành)

=> tam giác ABH = tam giác CDK (cạnh huyền – góc nhọn)

⇒ AH = CK (2)

Từ (1), (2) ⇒ tứ giác AHCK là hình bình hành.      

b)

• Vì AHCK là hình bình hành, hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. 
• Do I là trung điểm của HK (theo giả thiết). 
• Do đó, I cũng là trung điểm của đường chéo AC. 

ABCD là hình bình hành nên AD = BC và AD // BC.

Mà E là trung điểm của AD nên AE = ED;

       F là trung điểm của BC nên BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có DE // BF (do AD // BC) và DE = BF nên là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b)

a)xét tứ giác AEFD có:

AB // CD( định lí hbh)

DC = AB( đinh li hbh)

=> AE // DF, AE = 2AB = 2CD = DF.

=> AEFD là hbh.

Xét tứ giác ABFC có :

AB//CF (vì B thuộc AE, C thuộc DF mà AE//DF theo cmt)

Mà AE=DF(cmt)=>AB =CF vì( B và C lần lượt là trung điểm của AE và DF)(2)

Từ (1),(2) suy ra tứ giác ABFC là hbh.

b) Vì AEFD là hình bình hành nên AF cắt ED tại trung điểm mỗi đường.

Vì ABFC là hình bình hành nên AF cắt BC tại trung điểm mỗi đường.

Vậy ba trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau.

Xet hbh ABCDcó:

+) Hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại O nên OA = OC, OB = OD.

+) AB // CD nên AM // CN suy ra góc OAM= góc OCN (hai góc so le trong).

Xét tam giác OAM và tam giác OCN có:

goc OAM =góc OCN (cmt)

OA = OC (cmt)

Góc AOM=góc CON (hai góc đối đỉnh)

Do đó tam giác OAM = tam giác OCN (g.c.g).

Suy ra AM = CN (hai cạnh tương ứng)

Mặt khác, AB = CD (cmt); AB = AM + BM; CD = CN + DN.

Suy ra BM = DN.

Xét tứ giác MBND có:

+) BM // DN (vì AB // CD)

+) BM = DN (chứng minh trên)

Do đó, tứ giác MBND là hình bình hành.

a)Xét hbh ABCD có:

AE=BE( E là trung điểm của AB) (1)

DF=CF( F là trung điểm của DC) (2)

Mà AB=CD( định lí hbh) (3)

Từ (1),(2),(3)=> AE=BE=DF=CF

Xét tứ giác AEFD có :

AE=DF (cmt)

AE//DF (Do AB//DC và E thuộc AB,F thuộc DC)

=> tứ giác AEFD là hbh.

Xét tứ giác AECF có :

AE=CF (cmt)

AE//CF (Do AB//DC và E thuộc AB,F thuộc DC)

=> tứ giác AEFD là hbh.

b) Ta có hbh AEDF

EF=AD(Định lí hbh)

Ta có hbh AECF

AF=EC(Định lí hbh)