1. Chứng minh \(\triangle O A M = \triangle O C N\)

a. Nhận xét ban đầu:

• \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ hai đường chéo \(A C\) và \(B D\) cắt nhau tại trung điểm mỗi đường, tức:
  \(O \&\text{nbsp};\text{l} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp};\text{trung}\&\text{nbsp};đ\text{i}ể\text{m}\&\text{nbsp};\text{c}ủ\text{a}\&\text{nbsp}; A C \&\text{nbsp};\text{v} \overset{ˋ}{\text{a}} \&\text{nbsp}; B D\)
• \(M \in A B\), \(N \in C D\), và \(M , N\) thuộc đường thẳng đi qua \(O\).

b. Xét hai tam giác \(O A M\) và \(O C N\):

Ta sẽ chứng minh \(\triangle O A M = \triangle O C N\) theo trường hợp cạnh – góc – cạnh (c.g.c).

Cụ thể:

• \(O A = O C\) vì \(O\) là trung điểm của đường chéo \(A C\);
• Các góc \(\angle A O M\) và \(\angle C O N\) là đối đỉnh ⇒ bằng nhau;
• \(O M = O N\) vì \(M , N\) đối xứng nhau qua tâm \(O\) (do cùng thuộc đường qua \(O\), và tam giác nằm cân đối trong hình bình hành).

⟹ \(\triangle O A M = \triangle O C N\) (c.g.c).

2. Từ đó suy ra tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành

Ta đã có:

• \(\triangle O A M = \triangle O C N\) ⇒ \(\angle A M O = \angle C N O\), và các cạnh tương ứng bằng nhau: \(A M = C N\).

Mặt khác:

• Vì \(A B C D\) là hình bình hành ⇒ \(A B \parallel C D\), nên các đoạn \(M B\) và \(N D\) cũng song song (vì cắt từ \(A B , C D\) tương ứng tại \(M , N\)).
• Lại có: \(A M = C N\) ⇒ \(M B = A B - A M = A B - C N = D C - C N = D N\) ⇒ \(M B = D N\)

Tứ giác \(M B N D\):

• Có hai cạnh đối \(M B\) và \(N D\) song song và bằng nhau ⇒ tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

✅ Kết luận:

• \(\triangle O A M = \triangle O C N\)
• Tứ giác \(M B N D\) là hình bình hành.

Xét các cặp cạnh:

• Vì \(E\) là trung điểm của \(A B\), \(F\) là trung điểm của \(C D\), mà \(A B \parallel C D\) và \(A B = C D\) (vì \(A B C D\) là hình bình hành), nên đoạn thẳng \(E F\) nối hai trung điểm của hai cạnh đối song song → \(E F \parallel A D\) và \(E F = \frac{1}{2} A B + \frac{1}{2} C D = \frac{1}{2} \left(\right. A B + C D \left.\right) = A B\) (do \(A B = C D\)).
• \(A D\) là cạnh chung của \(A E F D\).

→ \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\) ⇒ Hai cạnh đối \(E F\) và \(A D\) song song và bằng nhau ⇒ Tứ giác AEFD là hình bình hành.

1. Chứng minh \(E F = A D\)

Từ phần a, ta đã chứng minh tứ giác \(A E F D\) là hình bình hành, trong đó \(E F \parallel A D\) và \(E F = A D\).

→ \(E F = A D\).

2. Chứng minh \(A F = E C\)

Từ phần a, tứ giác \(A E C F\) là hình bình hành ⇒ các cạnh đối bằng nhau:

• \(A F = E C\) (hai cạnh đối trong hình bình hành AECF).

→ \(A F = E C\).

Kết luận:

• a) Các tứ giác \(A E F D\) và \(A E C F\) đều là hình bình hành.
• b) \(E F = A D\), \(A F = E C\). □