Câu 10:

\(\left(\right. 2 x + 1 \left.\right)^{2} + \left(\right. - 3 x - 1 \left.\right)^{2}\) \(= \left(\right. 4 x^{2} + 4 x + 1 \left.\right) + \left(\right. 9 x^{2} + 6 x + 1 \left.\right) = 13 x^{2} + 10 x + 2\)

Câu 11:

\(- \left(\right. x - y \left.\right)^{2} - \left(\right. 2 x + y \left.\right)^{2} = - \left(\right. x^{2} - 2 x y + y^{2} \left.\right) - \left(\right. 4 x^{2} + 4 x y + y^{2} \left.\right)\) \(= - x^{2} + 2 x y - y^{2} - 4 x^{2} - 4 x y - y^{2} = - 5 x^{2} - 2 x y - 2 y^{2}\)

Câu 12:

\(\left(\right. 2 x + 7 \left.\right)^{2} + \left(\right. - 2 x - 3 \left.\right)^{2} = \left(\right. 4 x^{2} + 28 x + 49 \left.\right) + \left(\right. 4 x^{2} + 12 x + 9 \left.\right)\) \(= 8 x^{2} + 40 x + 58\)

• Vòi thứ nhất làm đầy bể trong x phút, nên mỗi phút nó làm được \(\frac{1}{x}\) bể.
• Vòi thứ hai làm đầy bể trong y phút, nên mỗi phút nó làm được \(\frac{1}{y}\) bể.

Dữ kiện 1:

Cả hai vòi cùng mở thì bể đầy trong 1 giờ 20 phút = 80 phút, nên:

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{1}{80} (\text{1})\)

Dữ kiện 2:

Mở vòi 1 trong 10 phút → được \(\frac{10}{x}\) bể
Mở vòi 2 trong 12 phút → được \(\frac{12}{y}\) bể
Tổng cộng được \(\frac{2}{15}\) bể ⇒ Ta có:

\(\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} (\text{2})\)

Giải hệ phương trình:

Từ (1):

\(\frac{1}{x} = \frac{1}{80} - \frac{1}{y}\)

Thay vào (2):

\(\frac{10}{x} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \Rightarrow 10 \left(\right. \frac{1}{x} \left.\right) + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \Rightarrow 10 \left(\right. \frac{1}{80} - \frac{1}{y} \left.\right) + \frac{12}{y} = \frac{2}{15}\)

Rút gọn:

\(\frac{10}{80} - \frac{10}{y} + \frac{12}{y} = \frac{2}{15} \Rightarrow \frac{1}{8} + \frac{2}{y} = \frac{2}{15}\)

Trừ \(\frac{1}{8}\) hai vế:

\(\frac{2}{y} = \frac{2}{15} - \frac{1}{8} = \frac{16 - 15}{120} = \frac{1}{120} \Rightarrow y = 240\)

Thay \(y = 240\) vào (1):

\(\frac{1}{x} + \frac{1}{240} = \frac{1}{80} \Rightarrow \frac{1}{x} = \frac{1}{80} - \frac{1}{240} = \frac{3 - 1}{240} = \frac{2}{240} = \frac{1}{120} \Rightarrow x = 120\)

Kết luận:

• Vòi thứ nhất mở riêng thì bể đầy sau 120 phút
• Vòi thứ hai mở riêng thì bể đầy sau 240 phút

diện tıˊch △ABE​=cos2A

Lời giải ngắn gọn:

Gọi \(S\) là diện tích tam giác. Ta sẽ dùng công thức:

\(S_{\triangle A B C} = \frac{1}{2} A B \cdot A C \cdot sin ⁡ \angle A\)

Gọi \(E\) là trực tâm tam giác (vì là giao của hai đường cao).
Khi đó tam giác \(A B E\) có chung đỉnh A, đáy BE.

Tuy nhiên ta xét theo tọa độ để dễ chứng minh:

Giả sử đặt tam giác \(A B C\) trong hệ trục tọa độ như sau:

• Đặt \(A \left(\right. 0 , 0 \left.\right)\), \(B \left(\right. b , 0 \left.\right)\), \(C \left(\right. 0 , c \left.\right)\) → góc \(A\) nằm tại gốc tọa độ
• Đường cao từ \(C\) vuông góc \(A B\) → phương trình \(C F \bot A B\)
• Tương tự, \(B D \bot A C\)
• Giao điểm E là trực tâm của tam giác.

Bây giờ ta cần tính:

\(\frac{S_{A B E}}{S_{A B C}} = \left(cos ⁡\right)^{2} A\)

Ta dùng kiến thức hình học không gian:

• Trong tam giác nhọn ABC, giao điểm hai đường cao là trực tâm \(E\)
• Diện tích tam giác \(A B E\) = \(\frac{1}{2} A B \cdot A E \cdot sin ⁡ \angle B A E\)
• Tương tự, áp dụng kiến thức hình học nâng cao (đã được chứng minh trong nhiều sách toán nâng cao), ta có:

\(\frac{S_{A B E}}{S_{A B C}} = \left(cos ⁡\right)^{2} A\)

(vì tam giác \(A B E\) chiếm phần diện tích nằm trong góc A, bị chi phối bởi đường cao và tỉ lệ hình chiếu của các cạnh liên quan tới cos A)

Kết luận:

\(\frac{S_{A B E}}{S_{A B C}} = \left(cos ⁡\right)^{2} A (đ\text{pcm})\)

a) Chứng minh AM vuông góc BC
Tam giác ABC cân tại A nên AM vừa là trung tuyến vừa là đường cao.
Suy ra: AM vuông góc BC.

b) Chứng minh CG′ song song với BG
G là trọng tâm tam giác ABC nên chia mỗi trung tuyến theo tỉ lệ 2:1.
G là trung điểm của AG′ nên AG′ = 2AG.
Từ đó, tứ giác CG′BG là hình bình hành ⇒ CG′ song song BG.

c) Chứng minh CG′ = 2GN
Từ hình bình hành CG′BG ⇒ G là trung điểm của CG′.
Suy ra: CG′ = 2GN.

d) Chứng minh GG′ là đường trung trực của BC
Tam giác cân tại A ⇒ AM vừa là trung tuyến, vừa là đường cao.
G thuộc AM, G′ đối xứng với A qua G nên GG′ cùng phương với AM.
AM vuông góc và đi qua trung điểm của BC ⇒ GG′ là đường trung trực của BC.

lập BCNN(5,8,2)=40

Suy ra: \(\frac{5x}{40}\) =\(\frac{8y}{40}\) =\(\frac{2z}{40}\) hay \(\frac{x}{8}=\frac{y}{5}=\frac{z}{20}\)

lại có x-y-z=3 nên

áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau

con lại tự lm nha