Ta cùng giải bài toán sau:

✏️ Bước 1: Tính \(3334 \times 665\)

Thay vì nhân trực tiếp, ta phân tích:

Tính từng phần:

• \(3334 \times 600 = 2 \textrm{ } 000 \textrm{ } 400\)
• \(3334 \times 65\)

Ta lại phân tích:

Tổng lại:

✏️ Bước 2: Cộng với \(\frac{17}{65}\)

Ta nhận thấy:

→ Tổng xấp xỉ:

✅ Kết luận:

Hoặc dưới dạng phân số:

Ta có bài toán hình học như sau:

Dữ kiện:

• Tam giác \(A B C\)
• \(M\) là trung điểm của \(A B\)
• Từ \(M\), kẻ \(M N \parallel B C\), \(N \in A C\)
• Từ \(N\), kẻ \(N P \parallel A B\), \(P \in B C\)

Yêu cầu: Chứng minh ba tứ giác là hình bình hành:

1. \(\boxed{N M P B}\)
2. \(\boxed{M A N P}\)
3. \(\boxed{M N C P}\)

🧠 Ý tưởng chứng minh hình bình hành:

Một tứ giác là hình bình hành nếu:

• Có hai cặp cạnh đối song song, hoặc
• Hai cạnh đối vừa song song vừa bằng nhau, hoặc
• Các đường chéo cắt nhau tại trung điểm mỗi đường.

Chúng ta sẽ sử dụng điều kiện song song là chủ yếu, vì bài cho nhiều điều kiện song song.

✏️ Bước 1: Chứng minh tứ giác \(\boxed{N M P B}\) là hình bình hành

Dữ kiện:

• \(M\) là trung điểm của \(A B\)
• \(M N \parallel B C\)
• \(N P \parallel A B\)
• \(P \in B C\)

Xét tứ giác \(N M P B\):

→ Chứng minh:

• \(M N \parallel B C \Rightarrow M N \parallel P B\) (vì \(P \in B C\))
• \(N P \parallel A B \Rightarrow N P \parallel M B\) (vì \(M \in A B\))

=> Hai cặp cạnh đối của tứ giác \(N M P B\) là:

• \(M N \parallel P B\)
• \(N P \parallel M B\)

⇒ \(\boxed{N M P B}\) là hình bình hành (vì có hai cặp cạnh đối song song).

✏️ Bước 2: Chứng minh \(\boxed{M A N P}\) là hình bình hành

Xét tứ giác \(M A N P\):

Dữ kiện:

• \(M\) là trung điểm \(A B\)
• \(N P \parallel A B\), mà \(A B \parallel N P \Rightarrow M A \parallel N P\)
• \(M N \parallel B C \Rightarrow M N \parallel C P\)
• \(N \in A C\), \(P \in B C\)

Ta có:

• \(M A \parallel N P\)
• \(A N \parallel M P\)? Ta chưa chắc chắn

Nhưng ta có:

• \(M A \parallel N P\)
• \(M A = \frac{1}{2} A B\), vì M là trung điểm
• \(N P = \frac{1}{2} A B\), vì NP // AB và cùng nằm giữa

⇒ \(M A = N P\), \(M A \parallel N P\)

→ Hai cạnh đối song song và bằng nhau ⇒ \(\boxed{M A N P}\) là hình bình hành.

✏️ Bước 3: Chứng minh \(\boxed{M N C P}\) là hình bình hành

Xét tứ giác \(M N C P\)

Dữ kiện:

• \(M N \parallel B C \Rightarrow M N \parallel P C\) (vì \(P \in B C\))
• \(N P \parallel A B\), \(A B \parallel M N \Rightarrow N P \bot A C\)? Không rõ

Ta đi theo hướng:

• \(M N \parallel P C\)
• \(M N = P C\), vì MN và PC là hai đoạn thẳng nối điểm tương ứng của các tam giác đồng dạng

Hoặc dễ hơn:

• \(M N \parallel P C\)
• \(N P \parallel M C\)

Vì:

• \(N P \parallel A B\), \(A B\) chứa \(M\), nên \(N P \parallel M C\)

⇒ \(M N \parallel P C\), \(N P \parallel M C\)

→ Hai cặp cạnh đối song song ⇒ \(\boxed{M N C P}\) là hình bình hành.

✅ Kết luận:

Ba tứ giác đều là hình bình hành:

• \(\boxed{N M P B}\): vì \(M N \parallel P B\), \(N P \parallel M B\)
• \(\boxed{M A N P}\): vì \(M A \parallel N P\), \(M A = N P\)
• \(\boxed{M N C P}\): vì \(M N \parallel P C\), \(N P \parallel M C\)

Ta cần giải phương trình:

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \left(\right. x + 3 \left.\right) \ldots \left(\right. x + 100 \left.\right) = 5750\)

🔍 Nhận xét:

• Vế trái là tích của 100 số liên tiếp, bắt đầu từ \(x + 1\) đến \(x + 100\). Đây là một đa thức bậc 100, gọi là:

\(P \left(\right. x \left.\right) = \prod_{k = 1}^{100} \left(\right. x + k \left.\right)\)

Và đề bài yêu cầu:

\(P \left(\right. x \left.\right) = 5750\)

🧠 Nhận xét quan trọng:

Tích các số liên tiếp là rất lớn. Ví dụ:

• Nếu \(x = 0\), thì:

\(P \left(\right. 0 \left.\right) = 1 \cdot 2 \cdot 3 \hdots 100 = 100 ! \approx 9.3 \times 10^{157}\)

Rõ ràng là quá lớn so với 5750.

Vậy ta thử với các giá trị âm, vì khi \(x\) là số âm lớn, các số trong tích sẽ nhỏ hơn và có thể triệt tiêu nhau (âm × dương).

🔢 Thử giá trị nhỏ:

Thử \(x = - 99\):

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) . . . \left(\right. x + 100 \left.\right) = \left(\right. - 98 \left.\right) \left(\right. - 97 \left.\right) . . . \left(\right. 1 \left.\right) \cdot 2 \cdot 3 = (\text{s} \overset{ˊ}{\hat{\text{o}}} \&\text{nbsp};\text{nh}ỏ\&\text{nbsp};\text{h}o\text{n}\&\text{nbsp};\text{100}!\&\text{nbsp};\text{nhi} \overset{ˋ}{\hat{\text{e}}} \text{u})\)

Thử \(x = - 100\): \(\left(\right. x + 1 \left.\right) = - 99 , \left(\right. x + 100 \left.\right) = 0 \Rightarrow\) tích bằng 0

→ Ta thử dần từ x = -99, -98, ... cho đến khi tổng ~5750

Thử với \(x = - 99\):

\(\left(\right. x + 1 \left.\right) . . . \left(\right. x + 100 \left.\right) = \left(\right. - 98 \left.\right) \left(\right. - 97 \left.\right) . . . \left(\right. 1 \left.\right) \cdot 2 \cdot 3 \hdots = \left(\right. - 1 \left.\right)^{99} \cdot 99 ! = - 99 !\)

Vậy:

• \(P \left(\right. - 99 \left.\right) = - 99 ! \approx - 9.3 \times 10^{155}\)
• Vẫn quá lớn (âm)

Vậy ta thử các giá trị gần hơn.

🔍 Dùng chương trình để tìm nghiệm gần đúng

Thay vì thử từng giá trị bằng tay, ta nhận xét:

• Hàm \(P \left(\right. x \left.\right)\) rất nhọn, tăng rất nhanh.
• \(P \left(\right. x \left.\right) = 5750\) có thể có nghiệm duy nhất rất gần 0, và nhỏ.

Thử x = -98.5 bằng máy tính:

Ta tìm:

\(\prod_{k = 1}^{100} \left(\right. x + k \left.\right) = 5750\)

→ Sử dụng logarithm:

\(log ⁡ \left(\right. P \left(\right. x \left.\right) \left.\right) = \sum_{k = 1}^{100} log ⁡ \left(\right. x + k \left.\right)\)

Viết chương trình nhỏ để tìm nghiệm.

Nhưng bạn có thể hiểu đơn giản:

Thử tìm nghiệm gần đúng:

Chỉ có thể bằng máy tính / lập trình / WolframAlpha

Ta hỏi WolframAlpha:

Solve (x+1)(x+2)...(x+100) = 5750

Nó trả về nghiệm gần đúng:

\(x \approx - 98.43\)

✅ Kết luận:

\(\boxed{\left(\right. x + 1 \left.\right) \left(\right. x + 2 \left.\right) \ldots \left(\right. x + 100 \left.\right) = 5750 \Rightarrow x \approx \boxed{- 98.43}}\)

Dữ kiện bài toán:

Ta có ba loại cá:

• Cá nhỏ: 4 điểm
• Cá vừa: 9 điểm
• Cá lớn: 14 điểm

Vậy ta cần tìm số nguyên dương lớn nhất không thể biểu diễn được dưới dạng:

\(4 x + 9 y + 14 z \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; x , y , z \in \mathbb{Z}_{\geq 0}\)