2^4

Do tam giác \(A B C\) đều, nên:

• Các cạnh bằng nhau: \(A B = B C = A C\)
• Các góc bằng nhau: \(\angle A = \angle B = \angle C = 60^{\circ}\)

Đường thẳng \(x y\) đi qua điểm \(A\) và song song với cạnh \(B C\). Do đó, ta có thể áp dụng tính chất góc so le trong để tính các góc cần tìm.

1) \(\hat{B A E} = \hat{E A C}\) (giả thiết). (1)

Vì \(A B\) // \(E F\) nên \(\hat{B A E} = \hat{A E F}\) (hai góc so le trong). (2)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{E A C} = \hat{I F C}\) (hai góc đồng vị). (3)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{A E F} = \hat{E F I}\) (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{I F C} = \hat{E F I}\).

2) Từ chứng minh trên, ta có: \(\hat{E F I} = \hat{I F C}\) mà \(F I\) là tia nằm giữa hai tia \(F E\) và \(F C\).

Vậy \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C}\).

a) \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C \bot A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C \bot B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D \bot B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D \bot B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D \bot A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C \bot B C\) (như trên).

O1​​=O2​​ (\(O E\) là tia phân giác của \(\hat{A O C} \left.\right) .\) (1)

\(\hat{O_{3}} = \hat{O_{4}}\) (\(O F\) là tia phân giác của \(\hat{D O B} \left.\right)\). (2)

Mà \(\hat{A O D} = \hat{C O B}\) (hai góc đối đỉnh).

Từ (1), (2), (3), ta có: \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B}\) (4)

Mà \(\left(\right. \hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} \left.\right) + \left(\right. \hat{O_{2}} + \hat{O_{4}} + \hat{C O B} \left.\right) = 36 0^{\circ}\). (5)

Do đó \(\hat{O_{1}} + \hat{O_{3}} + \hat{A O D} = 18 0^{\circ}\).

Từ \(\left(\right. 4 \left.\right)\) và \(\left(\right. 5 \left.\right) \Rightarrow \hat{E O F} = 18 0^{\circ}\).

a) \(x y\) // \(x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\) (hai góc so le trong). (1)

\(\left(A A\right)^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên: \(\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{1}{2} \hat{x A B}\) (2)

\(\left(B B\right)^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{\left(A B y\right)^{'}}\) nên: \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\) (3)

Từ (1), (2), (3) ta có: \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}}\).

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên \(\left(A A\right)^{'} / / \left(B B\right)^{'}\)

b) \(x y\) // \(x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{\left(A A\right)^{'} B}\) (hai góc so le trong).

\(\left(A A\right)^{'} / / \left(B B\right)^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{\left(A B\right)^{'} B}\) (hai góc đồng vị).

Vậy \(\hat{\left(A A\right)^{'} B} = \hat{\left(A B\right)^{'} B}\).

a) \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{x A B} = \hat{A B y^{'}}\) (hai góc so le trong). (1)

\(A A^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{x A B}\) nên: \(\hat{A_{1}} = \hat{A_{2}} = \frac{1}{2} \hat{x A B}\). (2)

\(B B^{'}\) là tia phân giác của \(\hat{A B y^{'}}\) nên: \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{2}} = \frac{1}{2} \hat{A B y^{'}}\). (3)

Từ (2) và (3) ta có: \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{1}} .\)

Mà hai góc ở vị trí so le trong, nên từ (1), (2), (3) ta có: \(A A^{'}\)  //  \(B B^{'}\) (có 2 góc so le trong bằng nhau).

b) \(x y / / x^{'} y^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{A A^{'} B}\) (hai góc so le trong).

\(A A^{'} / / B B^{'}\) nên \(\hat{A_{1}} = \hat{A B^{'} B}\) (hai góc đồng vị).

Vậy \(\hat{A A^{'} B} = \hat{A B^{'} B}\).

Suy ra \(\left(\hat{O}\right)_{2} + \left(\hat{A}\right)_{2} = 18 0^{\circ}\) (2 góc trong cùng phía).

Khi đó \(\left(\hat{O}\right)_{1} = \hat{A O B} - \left(\hat{O}\right)_{2} = \hat{A O B} - \left(\right. 18 0^{\circ} - \left(\hat{A}\right)_{2} \left.\right) = \hat{A O B} + \left(\hat{A}\right)_{2} - 18 0^{\circ} = \left(\hat{B}\right)_{1}\)

\(\Rightarrow O t\) // \(B y\) (vì có cặp góc so le trong bằng nhau). (2)

Từ (1) và (2) suy ra \(A x\) // \(B y\) (vì cùng song song với \(O t\) ).

Vậy \(A t\) // \(B z\).

-5/12<-3/8