a)

Vì tam giác ABC cân tại A nên:

• AB = AC
• Góc ABC = ACB
• Hai đường cao BE và CD được hạ từ hai đỉnh B, C xuống hai cạnh AC, AB.

Xét hai tam giác vuông:

• ΔBEC vuông tại E
• ΔCDB vuông tại D

Ta có:

• AB = AC (giả thiết)
• Góc ABC = ACB ⇒ góc tại B và C bằng nhau
• Góc BEC = Góc CDB = 90°

⇒ Hai tam giác vuông BEC và CDB bằng nhau (góc – cạnh – góc), nên BE = CD

b) Chứng minh tam giác ADE cân tại A

Tam giác ADE là phần được tạo bởi giao điểm của hai đường cao BE và CD với AB và AC, tại D và E.

Ta xét hai tam giác vuông ADE và ADE:

• BE ⊥ AC ⇒ AE ⊥ BE
• CD ⊥ AB ⇒ AD ⊥ CD
• AB = AC ⇒ AD = AE (do cùng vuông góc và từ đỉnh A đến hai cạnh bằng nhau)

⇒ Tam giác ADE cân tại A (vì AD = AE)

c) Gọi H là giao điểm của BE và CD. Chứng minh AH là tia phân giác của góc BAC

Xét tam giác ABC cân tại A

Có BE, CD là các đường cao, nên H là trực tâm của tam giác ABC. Trong tam giác cân, đường cao từ đỉnh đồng thời là đường phân giác. Do đó, AH là tia phân giác của góc BAC.​

d) Trên tia đối của tia EB lấy điểm K sao cho EK = EB. Chứng minh tam giác BCK cân

Xét tam giác BCK:​

• EK = EB (theo giả thiết)​
• BE = CD (đã chứng minh ở phần a) và CD = CK (vì CD và CK là đường cao trong tam giác vuông cân)​

Từ đó, ta có BC = CK. Do đó, tam giác BCK cân tại C.​