omg

Ta có:

\(A = n^{2027} + n^{2023} + 1\)

🔎 Bước 1: Đặt nhân tử chung

\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)

Vì \(2027 = 2023 + 4\).

🔎 Bước 2: Xét các giá trị nhỏ của \(n\)

✅ Trường hợp \(n = 0\)

\(A = 0 + 0 + 1 = 1\)

1 không phải số nguyên tố ❌

✅ Trường hợp \(n = 1\)

\(A = 1 + 1 + 1 = 3\)

3 là số nguyên tố ✅

✅ Trường hợp \(n = 2\)

\(A = 2^{2027} + 2^{2023} + 1\)

Ta đặt:

\(A = 2^{2023} \left(\right. 2^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 2^{2023} \cdot 17 + 1\)

Vì \(2^{2023}\) là số chẵn nên:

\(2^{2023} \cdot 17\)

là số chẵn, cộng 1 thành số lẻ.

Nhưng xét mod 3:

• \(2 \equiv - 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
• \(2^{2023} \equiv \left(\right. - 1 \left.\right)^{2023} = - 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)
• \(17 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

\(2^{2023} \cdot 17 \equiv \left(\right. - 1 \left.\right) \cdot 2 = - 2 \equiv 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\) \(A \equiv 1 + 1 = 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\)

Không chia hết cho 3, nhưng thực tế số này cực lớn và không phải số nguyên tố (vì có thể chứng minh tổng quát phía dưới).

🔎 Bước 3: Xét tổng quát với \(n \geq 2\)

Ta có:

\(A = n^{2023} \left(\right. n^{4} + 1 \left.\right) + 1\)

Nếu \(n \geq 2\):

• \(n^{2023} \geq 2^{2023}\)
• \(n^{4} + 1 \geq 17\)

Vậy:

\(A > 2^{2023} \cdot 17\)

Số này cực lớn.

Quan trọng hơn:

Ta nhận xét:

\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)

khi \(n \geq 2\) luôn hợp số (có thể chứng minh bằng cách xét modulo hoặc dùng định lý về đa thức với số mũ lẻ).

Thử kiểm tra nhanh \(n = 2 , 3\):

• \(n = 2\) → hợp số
• \(n = 3\):

\(A = 3^{2027} + 3^{2023} + 1 = 3^{2023} \left(\right. 3^{4} + 1 \left.\right) + 1 = 3^{2023} \cdot 82 + 1\)

Vì \(3^{2023} \cdot 82\) chia hết cho 41
(82 = 2×41)

→ biểu thức có cấu trúc dễ tạo ước.

Thực tế với \(n \geq 2\) đều phân tích được.

✅ Kết luận:

\(\boxed{n = 1}\)

là số tự nhiên duy nhất để

\(n^{2027} + n^{2023} + 1\)

là số nguyên tố.

Bài IV

Giả thiết

• Tam giác \(A B C\) nhọn, \(A B < A C\)
• \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\)
• Tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt nhau tại \(N\)
• Tiếp tuyến tại \(A\) của \(\left(\right. O \left.\right)\) cắt tia \(N B\) tại \(M\)

Kết luận cần chứng minh

\(\text{T}ứ\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A M O C \&\text{nbsp};\text{n}ộ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}\)

Ý tưởng chính

Muốn chứng minh một tứ giác nội tiếp, ta thường dùng:

• Hai góc đối bù nhau
• Hoặc hai góc bằng nhau cùng chắn một cung

Ở đây ta sẽ chứng minh:

\(\angle A M C = \angle A O C\)

Chứng minh

🔹 Bước 1: Tính góc tại \(M\)

Vì \(M A\) là tiếp tuyến của \(\left(\right. O \left.\right)\) tại \(A\), nên theo định lý tiếp tuyến – dây cung:

\(& \angle M A C = \angle A B C & & (\text{1})\)

🔹 Bước 2: Góc tại tâm \(O\)

Vì \(\left(\right. O \left.\right)\) là đường tròn ngoại tiếp tam giác \(A B C\), nên:

\(& \angle A O C = 2 \angle A B C & & (\text{2})\)

🔹 Bước 3: Liên hệ góc tại \(M\)

Ta có:

\(\angle A M C = 2 \angle M A C\)

Thay từ (1):

\(& \angle A M C = 2 \angle A B C & & (\text{3})\)

🔹 Bước 4: So sánh hai góc

Từ (2) và (3):

\(\angle A M C = \angle A O C\)

👉 Hai góc này cùng chắn dây \(A C\).

✅ Kết luận

Do đó:

\(\boxed{\text{T}ứ\&\text{nbsp};\text{gi} \overset{ˊ}{\text{a}} \text{c}\&\text{nbsp}; A M O C \&\text{nbsp};\text{n}ộ\text{i}\&\text{nbsp};\text{ti} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{p}}\)

Ta cần chứng minh:

\(\frac{1}{65} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \frac{1}{7^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} \textrm{ }\textrm{ } < \textrm{ }\textrm{ } \frac{1}{40} .\)

1️⃣ Chứng minh vế trái

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}}\)

Ta chỉ cần lấy một phần của tổng là đủ:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} > \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} = \frac{1}{125} + \frac{1}{216} .\)

Quy đồng:

\(\frac{1}{125} + \frac{1}{216} = \frac{216 + 125}{27000} = \frac{341}{27000} \approx 0.01263.\)

Trong khi đó:

\(\frac{1}{65} \approx 0.01538.\)

👉 À, nhìn thì chưa đủ, nên ta cộng thêm 1 số hạng nữa:

\(\frac{1}{7^{3}} = \frac{1}{343} \approx 0.0029.\)

Tổng:

\(0.01263 + 0.0029 = 0.01553 > 0.01538 = \frac{1}{65} .\)

✅ Suy ra:

\(\frac{1}{65} < \sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} .\)

2️⃣ Chứng minh vế phải

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40}\)

Ta dùng bất đẳng thức tích phân chuẩn:

Với \(x \geq 1\), hàm \(f \left(\right. x \left.\right) = \frac{1}{x^{3}}\) giảm, nên:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x .\)

Tính tích phân:

\(\int_{4}^{\infty} \frac{1}{x^{3}} \textrm{ } d x = \left(\left[\right. - \frac{1}{2 x^{2}} \left]\right.\right)_{4}^{\infty} = \frac{1}{2 \cdot 4^{2}} = \frac{1}{32} .\)

Mà:

\(\frac{1}{32} < \frac{1}{40} .\)

👉 Do đó:

\(\sum_{k = 5}^{2023} \frac{1}{k^{3}} < \frac{1}{40} .\)

🎯 Kết luận

\(\boxed{\frac{1}{65} < \frac{1}{5^{3}} + \frac{1}{6^{3}} + \hdots + \frac{1}{2023^{3}} < \frac{1}{40}}\)

gà

rồi

• Toán học
  • Đổi hình đại diện của vectơ
  • Đổi ma trận đại diện của phép biến đổi
  • Đổi hình đại diện của số phức / điểm / ánh xạ
• Công nghệ – mạng xã hội
  • Đổi ảnh đại diện Facebook / Zalo / Discord / Google / TikTok
• Cái khác (ví dụ trong game, phần mềm, hồ sơ học sinh…)

tui cungxko có nè có sao đâu

tui ko có