ý bạn muốn hỏi hỏi gì chưa hiểu . bạn muốn youtub đề xuất loại video nào cho bạn à?

Gia.

Ô xin lỗi cháu nhé, nó là một URL (Uniform Resource Locator) - địa chỉ web nhé. Gọi là đường link.

vui chơi, chơi bời nhảm nhỉ thì cút qua facebook, tiktok mà chơi. Não có nhận thức chưa cháu? có phân biệt trang nào học trang nào chơi không cháu? chưa đủ nhận thức thì chú khuyên cháu chưa tới lúc dùng internet đâu nhé. Nghe lời đi.

Đề bài

Cho tam giác ABC có độ dài ba cạnh là a, b, c. Gọi p là nửa chu vi của tam giác. Chứng minh rằng:
\(a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\)

Phân tích và hướng giải quyết

• Vế trái (VT) chứa các giá trị lượng giác là \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\).
• Vế phải (VP) chỉ chứa độ dài các cạnh \(a , b , c\) và nửa chu vi \(p\).
• Suy luận: Để chứng minh đẳng thức, chúng ta cần biến đổi vế này thành vế kia. Một hướng tiếp cận tự nhiên là “khử” các yếu tố lượng giác ở vế trái bằng cách biểu diễn chúng qua các cạnh \(a , b , c\). Công cụ mạnh nhất cho việc này chính là Định lý Cosin.
• Kế hoạch:
• 1. Biến đổi vế trái (VT) bằng cách áp dụng Định lý Cosin để thay thế \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\) bằng các biểu thức chứa \(a , b , c\).
  2. Rút gọn biểu thức của VT sau khi thay thế.
  3. Song song đó, biến đổi vế phải (VP) bằng cách thay \(p = \frac{a + b + c}{2}\) và rút gọn.
  4. So sánh hai kết quả sau khi biến đổi để đi đến kết luận cuối cùng.

Bài giải chi tiết

Ta cần chứng minh:
\(a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\)

Đặt \(V T = a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right)\)
và \(V P = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)\).

Bước 1: Biến đổi Vế Trái (VT)

• Tư duy: Chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin trong tam giác ABC để biểu diễn \(cos ⁡ A , cos ⁡ B , cos ⁡ C\) theo \(a , b , c\).
• Áp dụng Định lý Cosin:
• • \(a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c cos ⁡ A \Longrightarrow cos ⁡ A = \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c}\)
  • \(b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c cos ⁡ B \Longrightarrow cos ⁡ B = \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c}\)
  • \(c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b cos ⁡ C \Longrightarrow cos ⁡ C = \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b}\)
• Thay các biểu thức này vào VT:
  \(V T = a b c \left(\right. \frac{b^{2} + c^{2} - a^{2}}{2 b c} + \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{2 a c} + \frac{a^{2} + b^{2} - c^{2}}{2 a b} \left.\right)\)
• Thực hiện phép nhân: Ta nhân \(a b c\) vào từng hạng tử bên trong dấu ngoặc.
  \(V T = \frac{a b c \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right)}{2 b c} + \frac{a b c \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right)}{2 a c} + \frac{a b c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right)}{2 a b}\)
• Rút gọn từng hạng tử:
  \(V T = \frac{a \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right)}{2} + \frac{b \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right)}{2} + \frac{c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right)}{2}\)
• Đưa về cùng một mẫu số và rút gọn:
  \(V T = \frac{1}{2} \left[\right. a \left(\right. b^{2} + c^{2} - a^{2} \left.\right) + b \left(\right. a^{2} + c^{2} - b^{2} \left.\right) + c \left(\right. a^{2} + b^{2} - c^{2} \left.\right) \left]\right.\)
• Khai triển các tích:
  \(V T = \frac{1}{2} \left(\right. a b^{2} + a c^{2} - a^{3} + a^{2} b + b c^{2} - b^{3} + a^{2} c + b^{2} c - c^{3} \left.\right)\)

Đến đây, vế trái đã được biến đổi hoàn toàn theo các cạnh \(a , b , c\). Ta tạm dừng ở đây và tiếp tục biến đổi vế phải.

Bước 2: Biến đổi Vế Phải (VP)

• Tư duy: Vế phải chứa nửa chu vi \(p\). Ta sẽ thay định nghĩa của \(p\) vào biểu thức để nó cũng chỉ còn chứa \(a , b , c\).
• Sử dụng định nghĩa nửa chu vi: \(p = \frac{a + b + c}{2}\).
  Từ đó ta có:
• • \(p - a = \frac{a + b + c}{2} - a = \frac{a + b + c - 2 a}{2} = \frac{b + c - a}{2}\)
  • \(p - b = \frac{a + b + c}{2} - b = \frac{a + b + c - 2 b}{2} = \frac{a + c - b}{2}\)
  • \(p - c = \frac{a + b + c}{2} - c = \frac{a + b + c - 2 c}{2} = \frac{a + b - c}{2}\)
• Thay các biểu thức này vào VP:
  \(V P = a^{2} \left(\right. \frac{b + c - a}{2} \left.\right) + b^{2} \left(\right. \frac{a + c - b}{2} \left.\right) + c^{2} \left(\right. \frac{a + b - c}{2} \left.\right)\)
• Đưa về cùng một mẫu số và rút gọn:
  \(V P = \frac{1}{2} \left[\right. a^{2} \left(\right. b + c - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. a + c - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. a + b - c \left.\right) \left]\right.\)
• Khai triển các tích:
  \(V P = \frac{1}{2} \left(\right. a^{2} b + a^{2} c - a^{3} + a b^{2} + b^{2} c - b^{3} + a c^{2} + b c^{2} - c^{3} \left.\right)\)

Bước 3: So sánh VT và VP

Bây giờ, chúng ta hãy so sánh hai biểu thức đã được khai triển của VT và VP.

• Biểu thức của VT (sau khi sắp xếp lại các hạng tử):
  \(V T = \frac{1}{2} \left(\right. - a^{3} - b^{3} - c^{3} + a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2} \left.\right)\)
• Biểu thức của VP (sau khi sắp xếp lại các hạng tử):
  \(V P = \frac{1}{2} \left(\right. - a^{3} - b^{3} - c^{3} + a^{2} b + a b^{2} + a^{2} c + a c^{2} + b^{2} c + b c^{2} \left.\right)\)

Ta thấy rằng biểu thức của VT và VP sau khi biến đổi là hoàn toàn giống nhau.

Kết luận

Vì \(V T = V P\), nên đẳng thức đã cho là đúng.
Vậy, ta đã chứng minh được:
\(\boxed{a b c \left(\right. cos ⁡ A + cos ⁡ B + cos ⁡ C \left.\right) = a^{2} \left(\right. p - a \left.\right) + b^{2} \left(\right. p - b \left.\right) + c^{2} \left(\right. p - c \left.\right)}\) (Điều phải chứng minh).

Lời khuyên

1. Nhận dạng bài toán: Khi gặp một bài toán chứng minh hệ thức trong tam giác, hãy quan sát kỹ các yếu tố có trong hai vế. Nếu một vế chứa các hàm số lượng giác (sin, cos, tan) và vế còn lại chỉ chứa cạnh, hãy nghĩ ngay đến việc dùng các định lý như Định lý Cosin, Định lý Sin để “dịch” các yếu tố lượng giác thành các yếu tố cạnh.
2. Không ngại biến đổi: Đôi khi biểu thức sau khi biến đổi trông rất phức tạp và cồng kềnh. Đừng nản lòng, hãy kiên nhẫn thực hiện các phép toán đại số cơ bản (nhân, chia, cộng, trừ, nhóm hạng tử) một cách cẩn thận.
3. Biến đổi cả hai vế: Trong nhiều trường hợp, việc biến đổi một vế thành vế còn lại có thể rất khó. Một chiến lược hiệu quả là biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức trung gian đơn giản hơn, như chúng ta đã làm trong bài giải này.
4. Nắm vững công thức: Hãy chắc chắn rằng bạn thuộc và hiểu rõ các công thức cốt lõi: Định lý Cosin, Định lý Sin, các công thức tính diện tích, và các hệ thức liên quan đến trung tuyến, đường cao.

paste tùm lum hư luôn cái web ))

Nếu câu trả lời không hiện đủ, bạn vào lịch sử câu trả lời của tôi để xem full nhé.

Trước hết, chúng ta cùng xác định dạng bài tập này.

Xác định dạng bài tập

Sau khi tìm kiếm và phân tích, đây là một bài toán thuộc chuyên đề Số học trong chương trình Toán lớp 9. Cụ thể hơn, bài toán này kết hợp các kiến thức về:

• Số nguyên tố: Định nghĩa và tính chất.
• Ước của một số: Cách tìm tất cả các ước và công thức tính tổng các ước.
• Tính chất chia hết: Dấu hiệu chia hết cho 2, 3 và 6.
• Giải phương trình nghiệm nguyên: Sử dụng các phương pháp phân tích, lập luận để tìm nghiệm là số nguyên (ở đây là số nguyên tố).

Bây giờ, chúng ta sẽ đi vào lời giải chi tiết.

Lời giải chi tiết

Đề bài: Cho số nguyên dương n là tích của 3 số nguyên tố phân biệt. Biết rằng, tổng tất cả các ước nguyên dương của n bằng 2n-16. Chứng minh rằng, n-8 chia hết cho 6.

Bước 1: Phân tích bài toán và thiết lập phương trình

1. Phân tích giả thiết:
2. • n là số nguyên dương.
   • n là tích của 3 số nguyên tố phân biệt. Gọi 3 số nguyên tố đó là p, q, r. Để tiện cho việc lập luận, ta có thể giả sử p < q < r.
   • Vậy, ta có dạng của n là: n = p * q * r.
   • Tổng tất cả các ước nguyên dương của n bằng 2n - 16.
3. Tìm tổng các ước của n:
4. • Vì n = p * q * r với p, q, r là các số nguyên tố phân biệt, các ước nguyên dương của n sẽ là tất cả các tổ hợp có thể có khi nhân các số 1, p, q, r với nhau.
   • Các ước đó là: 1, p, q, r, pq, pr, qr, pqr.
   • Tổng tất cả các ước nguyên dương của n, ký hiệu là S(n), là:
     S(n) = 1 + p + q + r + pq + pr + qr + pqr
   • Mẹo tư duy: Ta có thể nhóm các hạng tử để phân tích thành nhân tử một cách dễ dàng. Đây là một hằng đẳng thức đáng nhớ:
     S(n) = (1 + p) + q(1 + p) + r(1 + p) + qr(1 + p)
S(n) = (1 + p)(1 + q + r + qr)
S(n) = (1 + p)[(1 + q) + r(1 + q)]
S(n) = (1 + p)(1 + q)(1 + r)
5. Thiết lập phương trình:
6. • Theo đề bài, ta có: S(n) = 2n - 16.
   • Thay các biểu thức của S(n) và n vào, ta được phương trình:
     (1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2(pqr) - 16

Đây là phương trình mấu chốt của bài toán. Nhiệm vụ của chúng ta là giải phương trình này để tìm ra bộ ba số nguyên tố (p, q, r).

Bước 2: Giải phương trình và tìm n

Phương trình (1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2pqr - 16 là một phương trình nghiệm nguyên với 3 ẩn là các số nguyên tố. Ta sẽ dùng phương pháp lập luận và xét tính chẵn lẻ.

1. Lập luận về tính chẵn lẻ:
2. • Vế phải của phương trình là 2pqr - 16 = 2(pqr - 8). Biểu thức này luôn là một số chẵn.
   • Do đó, vế trái (1 + p)(1 + q)(1 + r) cũng phải là một số chẵn.
   • Để một tích là số chẵn, ít nhất một trong các thừa số của nó phải là số chẵn. Tức là, ít nhất một trong ba số (1+p), (1+q), (1+r) phải chẵn.
   • Nếu (1+p) chẵn thì p phải là số lẻ. Tương tự cho q và r.
   • Suy luận phản chứng: Giả sử cả ba số nguyên tố p, q, r đều là số lẻ.
   • • Khi đó p, q, r đều ≥ 3. ( một số nguyên tố là số lẻ, nó phải ≥ 3 (vì 2 là số chẵn duy nhất là số nguyên tố) )
     • 1+p, 1+q, 1+r sẽ đều là số chẵn.
     • Suy ra vế trái (1+p)(1+q)(1+r) sẽ chia hết cho 2 * 2 * 2 = 8.
       Giải thích từng phần:
     • 1. "Vế trái (1+p)(1+q)(1+r)" - Đây là một tích của ba biểu thức: (1+p) nhân với (1+q) nhân với (1+r), trong đó p, q, r là các số nguyên tố.
       2. Lý do tại sao mỗi thừa số chia hết cho 2: - Vì p, q, r đều ≥ 3 (là các số nguyên tố lớn hơn hoặc bằng 3) - Các số nguyên tố ≥ 3 đều là số lẻ - Khi cộng số lẻ với 1, ta được số chẵn - Vậy (1+p), (1+q), (1+r) đều là số chẵn, tức đều chia hết cho 2
       3. "sẽ chia hết cho 2 * 2 * 2 = 8" - Khi nhân ba số chẵn với nhau: - (1+p) chứa ít nhất một thừa số 2 - (1+q) chứa ít nhất một thừa số 2 - (1+r) chứa ít nhất một thừa số 2 - Tích của chúng chứa ít nhất 2×2×2 = 8 làm thừa số - Do đó tích (1+p)(1+q)(1+r) chia hết cho 8
     • Bây giờ xét vế phải 2pqr - 16. Vì p, q, r đều lẻ nên tích pqr cũng là một số lẻ.
     • Khi đó pqr - 8 sẽ là (số lẻ) - (số chẵn) = số lẻ.
     • Vậy vế phải có dạng 2 * (số lẻ). Biểu thức này chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4.
     • • Phân tích biểu thức: 2 × (số lẻ)
         Khi bạn nhân 2 với bất kỳ số lẻ nào, bạn sẽ được một số chẵn. Nhưng số chẵn này có tính chất đặc biệt:
         Tại sao chia hết cho 2:
         Tại sao KHÔNG chia hết cho 4:
       • • Số lẻ có dạng: 2k + 1 (với k là số nguyên bất kỳ)
         • Khi nhân với 2: 2 × (2k + 1) = 4k + 2
         • Biểu thức 4k + 2 chia hết cho 2 vì cả 4k và 2 đều chia hết cho 2
         • Kết quả: (4k + 2) ÷ 2 = 2k + 1
       • • Biểu thức 4k + 2 có thể viết lại: 4k + 2 = 4k + 2
         • Phần 4k chia hết cho 4, nhưng phần +2 không chia hết cho 4
         • Khi chia cho 4: (4k + 2) ÷ 4 = k + 0.5
         • Số dư là 2 (không phải 0), nên không chia hết
     • Ta thấy có mâu thuẫn: Vế trái chia hết cho 8, trong khi vế phải không chia hết cho 4. Nếu một số chia hết cho 8, thì nó PHẢI chia hết cho 4 (vì 8 = 4 × 2).
   • Kết luận: Mâu thuẫn trên chứng tỏ giả sử ban đầu là sai. Vậy, không thể cả ba số nguyên tố p, q, r đều là số lẻ. Do đó, phải có ít nhất một số nguyên tố chẵn.
   • Số nguyên tố chẵn duy nhất là số 2.
   • Vì p, q, r là các số nguyên tố phân biệt, nên phải có đúng một số bằng 2. Do ta đã giả sử p < q < r, nên ta có p = 2.
3. Thay p = 2 vào phương trình và giải tiếp:
4. • Thay p = 2 vào phương trình (1 + p)(1 + q)(1 + r) = 2pqr - 16:
     (1 + 2)(1 + q)(1 + r) = 2(2qr) - 16
3(1 + q + r + qr) = 4qr - 16
3 + 3q + 3r + 3qr = 4qr - 16
   • Ta chuyển tất cả các biến về một vế và hằng số về vế còn lại:
     4qr - 3qr - 3q - 3r = 3 + 16
qr - 3q - 3r = 19
   • Hướng tư duy: Đây là dạng phương trình nghiệm nguyên quen thuộc. Ta sẽ sử dụng phương pháp “thêm bớt” để phân tích thành nhân tử:
     q(r - 3) - 3r = 19
q(r - 3) - 3r + 9 = 19 + 9 (Ta thêm 9 vào hai vế để có thể nhóm (r-3))
     q(r - 3) - 3(r - 3) = 28
(q - 3)(r - 3) = 28
5. Tìm q và r:
6. • Vì p = 2 và p < q < r, nên q và r là các số nguyên tố lẻ lớn hơn 2.
   • q ≥ 3. Nhưng nếu q = 3 thì q-3=0, dẫn đến 0 = 28 (vô lý). Vậy q > 3.
   • q là số nguyên tố lớn hơn 3 nên q ≥ 5.
   • r là số nguyên tố lớn hơn q nên r ≥ 7.
   • Do đó, q - 3 ≥ 2 và r - 3 ≥ 4.
   • Ta phân tích số 28 thành tích của hai số nguyên: 28 = 1 * 28 = 2 * 14 = 4 * 7.
   • Vì q < r nên q - 3 < r - 3. Ta xét các trường hợp của cặp (q-3, r-3):
   • • Trường hợp 1: q - 3 = 1 và r - 3 = 28.
     • • q = 4. Số 4 không phải là số nguyên tố. (Loại)
     • Trường hợp 2: q - 3 = 2 và r - 3 = 14.
     • • q = 5. Số 5 là số nguyên tố. (Nhận)
       • r = 17. Số 17 là số nguyên tố. (Nhận)
     • Trường hợp 3: q - 3 = 4 và r - 3 = 7.
     • • q = 7. Số 7 là số nguyên tố. (Nhận)
       • r = 10. Số 10 không phải là số nguyên tố. (Loại)
   • Vậy, ta tìm được bộ ba số nguyên tố duy nhất thỏa mãn là {p, q, r} = {2, 5, 17}.
   • Số n cần tìm là: n = 2 * 5 * 17 = 170.

Bước 3: Kiểm tra lại và chứng minh yêu cầu

1. Kiểm tra lại:
2. • Với n = 170, các ước của n là: 1, 2, 5, 10, 17, 34, 85, 170.
   • Tổng các ước: S(170) = 1+2+5+10+17+34+85+170 = 324.
   • Theo công thức: S(170) = (1+2)(1+5)(1+17) = 3 * 6 * 18 = 324.
   • Vế phải của đề bài: 2n - 16 = 2 * 170 - 16 = 340 - 16 = 324.
   • Thấy S(n) = 2n - 16 là đúng. Vậy n = 170 là giá trị chính xác.
3. Chứng minh n - 8 chia hết cho 6:
4. • Ta có n = 170.
   • Tính giá trị của biểu thức n - 8:
     n - 8 = 170 - 8 = 162.
   • Để chứng minh 162 chia hết cho 6, ta cần chứng minh 162 chia hết cho cả 2 và 3 (vì 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau).
   • • Chia hết cho 2: 162 có chữ số tận cùng là 2, là một số chẵn, nên 162 chia hết cho 2.
     • Chia hết cho 3: 162 có tổng các chữ số là 1 + 6 + 2 = 9. Vì 9 chia hết cho 3, nên 162 chia hết cho 3.
   • Vì 162 vừa chia hết cho 2, vừa chia hết cho 3, nên 162 chia hết cho 6.

Kết luận: n - 8 chia hết cho 6 (Điều phải chứng minh).

• Lời khuyên
• Nhận dạng: Khi gặp bài toán liên quan đến “tổng các ước”, hãy nghĩ ngay đến công thức S(n) = (1+p₁)(1+p₂)...(1+pk) nếu n có dạng p₁*p₂*...*pk.
• Kỹ năng mấu chốt:
• 1. Xét tính chẵn lẻ: Đây là một công cụ cực kỳ mạnh trong các bài toán số học để loại trừ trường hợp và thu hẹp phạm vi tìm kiếm.
  2. Phân tích thành nhân tử: Kỹ thuật biến đổi qr - aq - br = c thành (q-b)(r-a) = c + ab rất quan trọng và thường xuyên được sử dụng để giải phương trình nghiệm nguyên.

Phân tích bài toán

Đề bài yêu cầu: Chứng minh rằng:
S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}>1\)

Ta đặt tổng trên là S.

• Nhận xét 1: Tổng S là tổng của nhiều phân số.
• Nhận xét 2: Tất cả các phân số trong tổng S đều có chung tử số là 2012.
• Nhận xét 3: Mẫu số của các phân số là các số nguyên liên tiếp, tăng dần từ 2011² + 1 đến 2011² + 2011.
• Nhận xét 4: Số lượng các số hạng trong tổng S là: (2011 - 1) + 1 = 2011 số hạng.

Hướng tư duy và phương pháp giải

Mục tiêu của chúng ta là chứng minh S > 1.

Ý tưởng của phương pháp so sánh là tìm cách biến đổi tổng S thành một tổng khác đơn giản hơn mà chúng ta có thể dễ dàng tính toán giá trị của nó.

• Để chứng minh S lớn hơn 1 (S > 1): Ta sẽ tìm cách so sánh S với một tổng mới (gọi là S’) sao cho S > S' và ta có thể tính được S' = 1. Phương pháp này gọi là phương pháp làm giảm.
• Làm sao để tạo ra một tổng nhỏ hơn S?: Một tổng các phân số dương sẽ nhỏ đi nếu ta làm cho từng phân số trong tổng đó nhỏ đi.
• Làm sao để một phân số nhỏ đi?: Với các phân số có tử số dương và mẫu số dương, để giá trị của phân số nhỏ đi, ta phải tăng mẫu số của nó lên (trong khi giữ nguyên tử số).

Trong tổng S, các mẫu số là 2011² + 1, 2011² + 2, …, 2011² + 2011. Mẫu số lớn nhất trong dãy này là 2011² + 2011.

Vậy, chúng ta sẽ thay thế tất cả các mẫu số của các số hạng trong S bằng mẫu số lớn nhất này (2011² + 2011) để tạo ra một tổng mới nhỏ hơn S.

Trình bày bài giải chi tiết

Đặt S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Tổng S có tất cả là (2011 - 1) + 1 = 2011 số hạng.

Ta xét các mẫu số của các phân số trong tổng S:
\(201 1^{2} + 1 , 201 1^{2} + 2 , \ldots , 201 1^{2} + 2011\).

Mẫu số lớn nhất là \(201 1^{2} + 2011\).

Bây giờ, ta tiến hành so sánh từng số hạng của S với một phân số có mẫu số là \(201 1^{2} + 2011\).

• Ta có: \(201 1^{2} + 1 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\) (Vì khi so sánh hai phân số cùng tử số dương, phân số nào có mẫu số nhỏ hơn thì lớn hơn).
• Tương tự, ta có: \(201 1^{2} + 2 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)
• …
• Và: \(201 1^{2} + 2010 < 201 1^{2} + 2011\)
  => \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2010} > \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)
• Số hạng cuối cùng thì bằng:
  \(\frac{2012}{201 1^{2} + 2011} = \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Bây giờ, ta cộng tất cả các vế của các bất đẳng thức trên lại với nhau:

S = \(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\ldots+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

\(S>\underbrace{\frac{2012}{2011^2+2011}+\frac{2012}{2011^2+2011}+\ldots+\frac{2012}{2011^2+2011}}_{\text{Có 2011 số hạng}}\)

Ta tính giá trị của tổng bên vế phải:

Vế phải = \(2011 \times \frac{2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Vế phải = \(\frac{2011 \times 2012}{201 1^{2} + 2011}\)

Để ý dưới mẫu số, ta có thể đặt 2011 làm nhân tử chung:
\(201 1^{2} + 2011 = 2011 \times 2011 + 2011 \times 1 = 2011 \times \left(\right. 2011 + 1 \left.\right) = 2011 \times 2012\).

Thay vào biểu thức:
Vế phải = \(\frac{2011 \times 2012}{2011 \times 2012}\)

Vế phải = \(1\)

Từ các bước trên, ta suy ra:
S > \(1\)

Kết luận

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng:
\(\frac{2012}{201 1^{2} + 1}+\frac{2012}{201 1^{2} + 2}+\cdot\cdot\cdot+\frac{2012}{201 1^{2} + 2011}>1\)

Lời khuyên

• Nhận dạng bài toán: Khi gặp một bài toán chứng minh bất đẳng thức với một tổng có rất nhiều số hạng mà bạn không thể tính trực tiếp, hãy nghĩ ngay đến phương pháp so sánh, ước lượng.
• Xác định hướng so sánh:
• • Để chứng minh lớn hơn (>), ta cần làm cho các số hạng nhỏ đi (tăng mẫu số hoặc giảm tử số) để tạo ra một tổng mới nhỏ hơn nhưng dễ tính toán.
  • Để chứng minh nhỏ hơn (<), ta cần làm cho các số hạng lớn lên (giảm mẫu số hoặc tăng tử số) để tạo ra một tổng mới lớn hơn nhưng dễ tính toán.
• Chìa khóa của bài này: Bước quan trọng nhất là nhận ra rằng tất cả các mẫu số đều lớn hơn 2011² nhưng nhỏ hơn hoặc bằng 2011² + 2011. Việc chọn mốc so sánh là mẫu số lớn nhất (2011² + 2011) giúp chúng ta đưa bài toán về một tổng đơn giản có thể tính ra kết quả bằng 1.

professor's name ThAnH

Giải có trách nhiệm nghe bạn.

Ra vườn chơi và đừng mang theo bất kỳ thiếc bị công nghệ nào.

Sau khi đã ổn định, thì bắt đầu suy nghĩ, nếu nguồn gây tiêu cực là tạm thời thì bạn ổn trở lại tiếp tục ngày của bạn, nếu nguồn gây tiêu cực dạng vẫn còn, hãy tìm cách giải quyết nguồn đó nếu bạn không đủ khả năng thì hãy nhờ người lớn hoặc bạn bè.