a) Gọi \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) là đường tròn đường kính \(O A\).

Vì \(O O^{'} = O A - O^{'} A\) nên hai đường tròn \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc trong.

b) Các tam giác cân \(A O^{'} C\) và \(A O D\) có chung góc ở đỉnh \(A\) nên \(\hat{A C O^{'}} = \hat{D}\), suy ra \(O^{'} C\) // \(O D\).

Tam giác \(A O D\) có \(A O^{'} = O^{'} O\) và \(O^{'} C\) // \(O D\) nên \(A C = C D\).

rường hợp 1: \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc trong.

Xét \(\Delta O A C\), ta có:

\(\frac{O^{'} B}{O C} = \frac{r}{R} = \frac{O^{'} A}{O A}\) suy ra \(O^{'} B\) // \(O C\).

Suy ra các tiếp tuyến tại \(B\) và \(C\) song song với nhau vì chúng lần lượt vuông góc với \(O^{'} B\) và \(O C\).

Trường hợp 2: \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\) tiếp xúc ngoài.

Ta thấy \(\Delta O^{'} A B \sim \Delta O A C\) (g.g)

Suy ra \(\frac{O^{'} B}{O C} = \frac{r}{R} = \frac{O^{'} A}{O A}\)

Nên \(O^{'} B\) // \(O C\).

Lập luận tương tự như trên, ta được điều phải chứng minh.

a) Ta có: \(O O^{'} = O I + O^{'} I\).

Vậy hai đường tròn tiếp xúc ngoài tại \(I\).

b) Xét \(\Delta A I J\) và \(\Delta A^{'} I J^{'}\) có:

\(\hat{A} = \hat{A^{'}} = 9 0^{\circ}\)

\(\hat{I_{1}} = \hat{I_{2}}\) suy ra \(\Delta A I I \sim \Delta A^{'} I J^{'}\).

c) \(\Delta A I J \&\text{nbsp}; \sim \Delta A^{'} I J^{'}\) (g.g) 

Suy ra \(\frac{I A}{I A^{'}} = \frac{I J}{J I^{'}} = \frac{10}{4} = \frac{5}{2}\) (1) 

\(\Delta O I B \sim \Delta O^{'} I B^{'}\)  (g.g) suy ra \(O B\) // \(O^{'} B^{'}\)

Suy ra \(\hat{B_{1}} = \hat{B_{1}^{'}}\) suy ra \(\frac{I B}{I B^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{5}{2}\) (2)

 Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{I A}{I A^{'}} = \frac{I B}{I B^{'}} = \frac{5}{2}\); \(\hat{A I B} = \hat{A^{'} I B}\)

Nên \(\Delta I A B \sim \Delta I A^{'} B^{'}\) (c.g.c).

d) \(\Delta I A B \sim \Delta I A^{'} B^{'}\) (c.g.c)

Suy ra \(\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{I A}{I A^{'}} = \frac{5}{2}\);

\(\frac{O A}{O^{'} A^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{5}{2}\)

Suy ra \(\frac{O A}{O^{'} A^{'}} = \frac{O B}{O^{'} B^{'}} = \frac{A B}{A^{'} B^{'}}\) suy ra \(\Delta A O B \sim \Delta A^{'} O^{'} B^{'}\) (c.c.c).

e) \(\Delta A O B \sim \Delta A^{'} O^{'} B^{'}\) suy ra \(\hat{O B A} = \hat{O^{'} B^{'} A^{'}} ; \hat{O B I} = \hat{O^{'} B^{'} I^{'}}\)

Suy ra \(\hat{A B I} = \hat{A B^{'} I^{'}}\) nên \(A B\) // \(A^{'} B^{'}\).

Tứ giác \(A B A^{'} B^{'}\) có hai cạnh đối song song nên nó là hình thang.

 Ta có: \(\hat{A_{1}} = \left(\right. 18 0^{\circ} - \hat{O_{1}} \left.\right) : 2\)

\(\hat{A_{2}} = \left(\right. 18 0^{\circ} - \hat{O_{2}} \left.\right) : 2\)

Suy ra \(\hat{A_{1}} + \hat{A_{2}} = 9 0^{\circ}\) suy ra \(\hat{D A E} = 9 0^{\circ}\).

b) Có tứ giác \(A D M E\) là hình chữ nhật (tứ giác có ba góc vuông là hình chữ nhật).

c) Gọi \(I\) là giao điểm của \(D E\) và \(A M\) suy ra \(I D = I A\)

\(\Delta I A O = \Delta I D O\) (ccc) suy ra \(\hat{I A O} = \hat{I D O} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(M A ⊥ O A\) với \(A \in \left(\right. O \left.\right)\)

Chứng minh tương tự: \(M A ⊥ O^{'} A\) với \(A \in \left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Vậy \(M A\) là tiếp tuyến chung của hai đường tròn.

Tam giác \(O A C\) có ba cạnh bằng nhau \(\left(\right. A C = O A = O C \left.\right)\) nên là tam giác đều

Suy ra \(\hat{A} = \hat{C_{1}} = \hat{O_{1}} = 6 0^{\circ}\).

Ta có: \(O A C\) có \(O B = O C\) nên cân tại \(O\) suy ra \(\hat{B} = \hat{C_{2}}\);

\(\hat{O_{1}}\) là góc ngoài của \(\Delta O B C\).

Do đó \(\hat{O_{1}} = \hat{B} + \hat{C_{2}} = 2 \hat{B} = 2 \hat{C_{2}}\)

\(\hat{B} = \hat{C_{2}} = \frac{1}{2} \hat{O_{1}} = 3 0^{\circ}\)

\(\hat{A C B} = \hat{C_{1}} + \hat{C_{2}} = 9 0^{\circ}\)

Vậy \(\hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ} ; \hat{C} = 9 0^{\circ}\).

\(\Delta C A B\) có trung tuyến \(C O\) bằng nửa cạnh đối xứng \(A B\) nên vuông tại \(C\) với \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)

Suy ra \(\hat{A} = 6 0^{\circ}\) và \(\hat{B} = 3 0^{\circ}\)

Vậy \(\Delta A B C\) có \(\hat{C} = 9 0^{\circ} ; \hat{A} = 6 0^{\circ} ; \hat{B} = 3 0^{\circ}\).

a) Từ giả thiết, ta có \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{r}{R^{'}}\);

\(\frac{O B^{'}}{O B} = \frac{r}{R^{'}}\).

Suy ra \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\).

b) Vì \(\frac{O A^{'}}{O A} = \frac{O B^{'}}{O B}\) nên theo hệ quả của định lí Thalès ta có:

\(A B\) // \(A^{'} B^{'}\).

Ta có \(A B C D\) là hình chữ nhật nên \(O A = O B = O C = O D\), suy ra các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) nằm trên một đường tròn tâm \(O\).

Tam giác \(A B C\) vuông tại \(B\) có: \(A C = \sqrt{A B^{2} + B C^{2}} = \sqrt{6^{2} + 9^{2}} = \sqrt{117}\).

Vậy bán kính \(R = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{117}}{2}\).

a) Hai đường tròn \(\left(\right. A ; 6\) cm\(\left.\right)\) và \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\) cắt nhau tại \(C\) và \(D\) nên \(A C = A D = 6\) cm, \(B C = B D = 4\) cm.

b) \(A B = 8\) cm, \(B C = B D = B I = 4\) cm.

Suy ra \(A I = A B - I B = 8 - 4 = 4\) cm.

Điểm \(I\) là trung điểm của đoạn thẳng \(A B\).

c) Ta có: \(A K = A C = 6\) cm nên \(I K = A K - A I = 6 - 4 = 2\) cm.

a) Do \(O\) là tâm đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(N\) đối xứng với điểm \(M\) qua tâm \(O\) phải vừa thuộc \(O M\), vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\).

Vậy \(N\) là giao điểm của đường thẳng \(O M\) với \(\left(\right. O \left.\right)\).

b) Do \(A B\) là trục đối xứng của \(\left(\right. O \left.\right)\) nên điểm \(P\) đối xứng với điểm \(M\) qua \(A B\) phải vừa thuộc \(\left(\right. O \left.\right)\), vừa thuộc đường thẳng vuông góc hạ từ \(M\) xuống \(A B\).

Vậy \(P\) là giao điểm của \(\left(\right. O \left.\right)\) với đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(A B\).

) Điểm \(B\) cố định. Điểm \(A\) cách \(B\) một khoảng là \(4\) cm nên \(A\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. B ; 4\) cm\(\left.\right)\).

b) Gọi \(O\) là trung điểm của \(B C\) thì \(O\) là một điểm cố định.

Ta có \(O M = \frac{1}{2} A B = 2\) cm.

Điểm \(M\) cách điểm \(O\) một khoảng \(2\) cm nên \(M\) nằm trên đường tròn \(\left(\right. O ; 2\) cm\(\left.\right)\).