Bước 1: Rút gọn vế trái

\(20 a^{2} + 5 b^{2} = 5 \left(\right. 4 a^{2} + b^{2} \left.\right)\)

Vậy:

\(5 \left(\right. 4 a^{2} + b^{2} \left.\right) = 19 c^{2} + 87 d^{2}\)

Bước 2: Xét chia hết cho 5

Vế trái chia hết cho 5, nên vế phải cũng phải chia hết cho 5.

Ta xét:

• \(19 \equiv 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
• \(87 \equiv 2 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

Suy ra:

\(19 c^{2} + 87 d^{2} \equiv 4 c^{2} + 2 d^{2} \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

Để chia hết cho 5:

\(4 c^{2} + 2 d^{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

Bước 3: Xét các bình phương modulo 5 (kiến thức lớp 6)

Với mọi số nguyên:

\(x^{2} \equiv 0 , 1 , 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

Thử các khả năng:

• Nếu \(c^{2} \equiv 1\) hoặc \(4\) thì \(4 c^{2} \equiv 4\) hoặc \(1\)
• Nếu \(d^{2} \equiv 1\) hoặc \(4\) thì \(2 d^{2} \equiv 2\) hoặc \(3\)

👉 Không có cách nào để:

\(4 c^{2} + 2 d^{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

trừ khi:

\(c^{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right) , d^{2} \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

➡️ Suy ra:

\(c \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 5 , d \&\text{nbsp};\text{chia}\&\text{nbsp};\text{h} \overset{ˊ}{\hat{\text{e}}} \text{t}\&\text{nbsp};\text{cho}\&\text{nbsp}; 5\)

Bước 4: Đặt

\(c = 5 c_{1} , d = 5 d_{1}\)

Thế vào phương trình ban đầu:

\(20 a^{2} + 5 b^{2} = 19 \left(\right. 25 c_{1}^{2} \left.\right) + 87 \left(\right. 25 d_{1}^{2} \left.\right)\) \(= 25 \left(\right. 19 c_{1}^{2} + 87 d_{1}^{2} \left.\right)\)

Chia hai vế cho 5:

\(4 a^{2} + b^{2} = 5 \left(\right. 19 c_{1}^{2} + 87 d_{1}^{2} \left.\right)\)

Bước 5: Xét chia hết cho 5 (lần nữa)

Vế phải chia hết cho 5 ⇒ vế trái cũng phải chia hết cho 5.

Xét:

• \(4 a^{2} \equiv 0 , 4 , 1 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)
• \(b^{2} \equiv 0 , 1 , 4 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

👉 Tổng chỉ chia hết cho 5 khi:

\(a \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right) , b \equiv 0 \left(\right. m o d 5 \left.\right)\)

➡️ Suy ra:

\(a = 5 a_{1} , b = 5 b_{1}\)

✅ KẾT LUẬN (đáp án)

Nếu \(a , b , c , d\) là số nguyên dương thỏa mãn:

\(20 a^{2} + 5 b^{2} = 19 c^{2} + 87 d^{2}\)

thì tất cả đều chia hết cho 5:

\(\boxed{5 \mid a , \textrm{ }\textrm{ } 5 \mid b , \textrm{ }\textrm{ } 5 \mid c , \textrm{ }\textrm{ } 5 \mid d}\)

157

Topic 1 :

Hi Lan,

Happy Tet! My family cleans the house and decorates it with flowers. We make bánh chưng and visit our relatives. We also give lucky money to the children. Tet is a happy time for us. What do you do at Tet?

Love,

Mai

Topic 2:

I like my neighbourhood because it is quiet and has a small park. I love spending time there. The people are friendly, and the shops are close to my house. But I don’t like the traffic in the morning because it is noisy and makes the street crowded.

Topic 3:

I want to visit Hoi An because it is a beautiful and peaceful town. The old streets, lanterns, and yellow houses look very special. I also want to try the local food and take photos by the river. It’s a great place to relax and explore.

1.is more expensive/pricey/costly than this shirt / not as (so) cheap as this shirt

2.shouldn’t / ought not to / had better not sweep the floor on the first day of Tet.

3.spend time at the new park

- Việt Nam nằm ở múi giờ số 7, Pê-ru nằm ở múi giờ số -5.

=> Chênh lệch múi: 7 - (-5) = 12 (múi).

=> Lúc này, ở Pê-ru là: 11 + 12 = 23 (giờ) ngày 02/09/2023 (do Pê-ru nằm ở phía Tây, có giờ muộn hơn Việt Nam nằm ở phía Đông).

- Lí do bà khuyên Emma như vậy vì sự khác nhau về giờ múi giữa các múi giờ. Mặc dù ở cùng thời điểm, ở Việt Nam đang là buổi trưa nhưng ở Pê-ru đang là buổi đêm

1. Khoảng cách thực tế được tính bằng công thức:

1. Khoảng cách thực tế được đổi sang mét:

Chuyển động của Trái Đất quanh Mặt Trời có các đặc điểm chính: quỹ đạo hình elip gần tròn, hướng từ Tây sang Đông (ngược chiều kim đồng hồ), mất khoảng 365 ngày 6 giờ (1 năm) để hoàn thành một vòng, và trục Trái Đất luôn nghiêng một góc không đổi là 66°33' so với mặt phẳng quỹ đạo

Bước 1. Xét chia cho 3

Ta biết các số chính phương mod 3 chỉ có thể là:

\(x^{2} \equiv 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Ta tính \(2051 \left(\right. m o d 3 \left.\right)\):

\(2 + 0 + 5 + 1 = 8 \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Suy ra:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \equiv 2 \left(\right. m o d 3 \left.\right) .\)

Giờ ta thử mọi khả năng của tổng 3 số mỗi số ≡ 0 hoặc 1 mod 3:

• \(0 + 0 + 0 \equiv 0\)
• \(0 + 0 + 1 \equiv 1\)
• \(0 + 1 + 1 \equiv 2\)
• \(1 + 1 + 1 \equiv 0\)

Để tổng ≡ 2 mod 3, chỉ có trường hợp một số chia hết cho 3 và hai số không chia hết cho 3.

⇒ Ít nhất một trong a, b, c chia hết cho 3
→ abc chia hết cho 3.

Bước 2. Xét chia cho 4

Ta biết:

\(x^{2} \equiv 0 \&\text{nbsp};\text{ho}ặ\text{c}\&\text{nbsp}; 1 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Tính \(2051 \left(\right. m o d 4 \left.\right)\):
\(2051 = 2048 + 3 \Rightarrow 2051 \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Vậy:

\(a^{2} + b^{2} + c^{2} \equiv 3 \left(\right. m o d 4 \left.\right) .\)

Muốn tổng ≡ 3 mod 4 thì phải có ba số đều lẻ (vì \(1 + 1 + 1 = 3\)).

→ \(a , b , c\) đều lẻ, nên \(a b c\) lẻ, không chia hết cho 2.

Kết luận:

• \(a b c\) chia hết cho 3
• \(a b c\) không chia hết cho 4, nên không chia hết cho 12.

✅ Do đó, \(a b c\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 12.

Bước 1. Xét điều kiện xác định

Vì có căn bậc hai ⇒

\(3 x^{2} - 3 x + 1 \geq 0.\)

Ta có ∆ = 9 - 12 = -3 < 0 ⇒ biểu thức luôn dương ⇒ phương trình xác định ∀x ∈ ℝ.

Bước 2. Thử tìm giá trị hợp lý của x

Ta có thể thử một vài giá trị đơn giản:

• Với \(x = 0\):
  \(\sqrt{1} + 1 = 2 ,\)
  vế phải \(\sqrt[3]{2} \approx 1.26\) → không đúng.
• Với \(x = 1\):
  \(\sqrt{3 - 3 + 1} + 1 = 2 ,\)
  vế phải \(\sqrt[3]{8} = 2 ,\)
  ✅ đúng.

Bước 3. Kiểm tra xem còn nghiệm khác không

Phương trình có chứa căn và căn bậc ba, khá phức tạp, nhưng ta thấy hai vế là các hàm tăng (căn bậc hai và căn bậc ba đều tăng trên ℝ).
Hai hàm tăng đơn điệu chỉ có thể cắt nhau tại một điểm duy nhất.

✅ Kết luận:

\(\boxed{x = 1}\)

là nghiệm duy nhất của phương trình.

Ta giải phương trình

\(x^{2} - 2 \sqrt{2 x - 1} = \frac{13 x^{2} - 28 x + 24}{2 x + 1} .\)

1. Xét miền nghiệm: căn thực khi \(2 x - 1 \geq 0 \Rightarrow x \geq \frac{1}{2}\). (Ngoài ra \(2 x + 1 \neq 0\) nhưng với \(x \geq \frac{1}{2}\) điều này luôn đúng.)
2. Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt{2 x - 1}\) (vậy \(t \geq 0\) và \(x = \frac{t^{2} + 1}{2}\)). Thay vào phương trình:

\(\frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)^{2}}{4} - 2 t = \frac{13 \frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)^{2}}{4} - 28 \frac{\left(\right. t^{2} + 1 \left.\right)}{2} + 24}{t^{2} + 2} .\)

Rút gọn và đưa về một đa thức cho \(t\) ta được (sau nhân chéo và khử mẫu):

\(\frac{t^{6} - 9 t^{4} - 8 t^{3} + 35 t^{2} - 16 t - 51}{4 \left(\right. t^{2} + 2 \left.\right)} = 0.\)

Vì \(t^{2} + 2 > 0\) nên xét tử số:

\(t^{6} - 9 t^{4} - 8 t^{3} + 35 t^{2} - 16 t - 51 = 0.\)

Phân tích đa thức:

\(\left(\right. t - 3 \left.\right) \left(\right. t + 1 \left.\right) \left(\right. t^{4} + 2 t^{3} - 2 t^{2} - 6 t + 17 \left.\right) = 0.\)

1. Tìm nghiệm thực với điều kiện \(t \geq 0\):

• \(t = 3\) là nghiệm và thỏa \(t \geq 0\).
• \(t = - 1\) bỏ vì \(t \geq 0\).
• Các nghiệm của đa thức bậc 4 đều phức không thực.

1. Quay lại \(x\): từ \(t = 3\) suy ra

\(x = \frac{t^{2} + 1}{2} = \frac{9 + 1}{2} = 5.\)

1. Kiểm tra trực tiếp vào phương trình gốc: cả hai vế đều bằng \(19\), nên \(x = 5\) là nghiệm hợp lệ.

Kết luận: Phương trình có đúng một nghiệm thực: \(\boxed{x = 5}\).