a) \(x^{2} + 2 y^{2} = 5\)

Vì \(x , y \in \mathbb{N}\) (số tự nhiên, ≥ 0), thử các giá trị nhỏ:

• \(y = 0 \Rightarrow x^{2} = 5\) (không có nghiệm)
• \(y = 1 \Rightarrow x^{2} + 2 = 5 \Rightarrow x^{2} = 3\) (không có nghiệm)
• \(y = 2 \Rightarrow x^{2} + 8 = 5\) (vô lý)

→ Không có nghiệm trong \(\mathbb{N}\)

b) \(x^{2} - 2 y^{2} = 5\)

Thử các giá trị nhỏ:

• \(y = 0 \Rightarrow x^{2} = 5\) (không được)
• \(y = 1 \Rightarrow x^{2} - 2 = 5 \Rightarrow x^{2} = 7\) (không được)
• \(y = 2 \Rightarrow x^{2} - 8 = 5 \Rightarrow x^{2} = 13\) (không được)
• \(y = 3 \Rightarrow x^{2} - 18 = 5 \Rightarrow x^{2} = 23\) (không được)

→ Không có nghiệm trong \(\mathbb{N}\)

c) \(x^{2} - 2 y^{2} = 1\), với \(x , y\) là số nguyên tố

Đây là dạng phương trình Pell.

Thử các số nguyên tố nhỏ:

• \(y = 2 \Rightarrow x^{2} - 8 = 1 \Rightarrow x^{2} = 9 \Rightarrow x = 3\) (hợp lệ, 3 là số nguyên tố)
• \(y = 3 \Rightarrow x^{2} - 18 = 1 \Rightarrow x^{2} = 19\) (không được)
• \(y = 5 \Rightarrow x^{2} - 50 = 1 \Rightarrow x^{2} = 51\) (không được)

→ nghiệm duy nhất thỏa điều kiện:

\(\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 3 , 2 \left.\right)\)

là giới thiệu về bản thân \