Bài toán. Cho

\(M = \frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{x + y + z} + \frac{z}{x + y + z} + \frac{x}{x + y + t} + \frac{y}{x + y + t} + \frac{t}{x + y + t}\) \(+ \frac{y}{y + z + t} + \frac{z}{y + z + t} + \frac{t}{y + z + t} + \frac{x}{x + z + t} + \frac{z}{x + z + t} + \frac{t}{x + z + t} ,\)

với \(x , y , z , t\) là các số tự nhiên khác \(0\). Chứng minh \(M^{5} < 1025\).

Lời giải

1. Nhóm các số hạng theo mẫu mẫu mẫu mẫu:
2. • Các số hạng có mẫu mẫu mẫu dạng \(\frac{\cdot}{x + y + z}\) là
     \(\frac{x}{x + y + z} + \frac{y}{x + y + z} + \frac{z}{x + y + z} .\)
     Tổng của chúng bằng \(1\) vì tử là tổng các thành phần của mẫu:
     \(\frac{x + y + z}{x + y + z} = 1.\)
   • Tương tự với mẫu mẫu \(x + y + t , \textrm{ }\textrm{ } y + z + t , \textrm{ }\textrm{ } x + z + t\) ta được mỗi mẫu có tổng bằng \(1\).
3. Vậy tổng \(M\) là tổng của bốn số \(1\):
   \(M = 1 + 1 + 1 + 1 = 4.\)
4. Suy ra
   \(M^{5} = 4^{5} = 1024.\)
   Và rõ ràng \(1024 < 1025\). Do đó \(M^{5} < 1025\).

Kết luận: \(M = 4\) và \(M^{5} = 1024 < 1025\). ♦

=9392 nhée