Theo giả thiết, AH \perp BD tại H và CK \perp BD tại K. Suy ra \mathbf{AH // CK} (vì cùng vuông góc với BD). Xét \triangle ABH vuông tại H và \triangle CDK vuông tại K. AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD). \angle ABH = \angle CDK (hai góc so le trong, vì AB // CD). Do đó, \triangle ABH = \triangle CDK (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). Tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối song song (AH // CK) và bằng nhau (AH = CK). Vậy \mathbf{AHCK} là hình bình hành. b) Gọi \mathbf{I} là trung điểm của HK. Chứng minh \mathbf{IB = ID}. Chứng minh: Vì AHCK là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a)), nên các đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi M là giao điểm của AC và HK. M là trung điểm của HK. Theo giả thiết, \mathbf{I} là trung điểm của HK. Vậy I phải trùng với M. Nói cách khác, \mathbf{I} là trung điểm của AC. Xét \triangle ABI và \triangle CDI: AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD). AI = CI (vì I là trung điểm của AC). \angle BAI = \angle DCI (hai góc so le trong, vì AB // CD, hay \angle BAC = \angle DCA). Do đó, \triangle ABI = \triangle CDI (cạnh - góc - cạnh). Suy ra \mathbf{IB = ID} (hai cạnh tương ứng).

Theo giả thiết, AH \perp BD tại H và CK \perp BD tại K. Suy ra \mathbf{AH // CK} (vì cùng vuông góc với BD). Xét \triangle ABH vuông tại H và \triangle CDK vuông tại K. AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD). \angle ABH = \angle CDK (hai góc so le trong, vì AB // CD). Do đó, \triangle ABH = \triangle CDK (cạnh huyền - góc nhọn). Suy ra AH = CK (hai cạnh tương ứng). Tứ giác AHCK có một cặp cạnh đối song song (AH // CK) và bằng nhau (AH = CK). Vậy \mathbf{AHCK} là hình bình hành. b) Gọi \mathbf{I} là trung điểm của HK. Chứng minh \mathbf{IB = ID}. Chứng minh: Vì AHCK là hình bình hành (đã chứng minh ở câu a)), nên các đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Gọi M là giao điểm của AC và HK. M là trung điểm của HK. Theo giả thiết, \mathbf{I} là trung điểm của HK. Vậy I phải trùng với M. Nói cách khác, \mathbf{I} là trung điểm của AC. Xét \triangle ABI và \triangle CDI: AB = CD (cạnh đối của hình bình hành ABCD). AI = CI (vì I là trung điểm của AC). \angle BAI = \angle DCI (hai góc so le trong, vì AB // CD, hay \angle BAC = \angle DCA). Do đó, \triangle ABI = \triangle CDI (cạnh - góc - cạnh). Suy ra \mathbf{IB = ID} (hai cạnh tương ứng).

Xét đoạn thẳng MN: M là trung điểm của AC. N là trung điểm của AB. \implies MN là đường trung bình của \triangle ABC. Do đó, MN song song và bằng một nửa cạnh BC (MN // BC và MN = \frac{1}{2}BC) (1). Xét đoạn thẳng PQ: P là trung điểm của GB. Q là trung điểm của GC. \implies PQ là đường trung bình của \triangle GBC. Do đó, PQ song song và bằng một nửa cạnh BC (PQ // BC và PQ = \frac{1}{2}BC) (2). So sánh MN và PQ: Từ (1) và (2) \implies MN // PQ và MN = PQ. Kết luận: Tứ giác PQMN có một cặp cạnh đối MN và PQ song song và bằng nhau \implies PQMN là hình bình hành.

ABCD là hình bình hành \implies \vec{AB} = \vec{DC} (1). B là trung điểm của AE \implies \vec{AB} = \vec{BE} (2). C là trung điểm của DF \implies \vec{DC} = \vec{CF} (3). Từ (1), (2), và (3) \implies \vec{BE} = \vec{CF}. Ta có: \vec{EF} = \vec{EB} + \vec{BC} + \vec{CF} = \vec{EB} + \vec{BC} + \vec{BE} (vì \vec{CF} = \vec{BE}). \vec{EF} = (\vec{EB} + \vec{BE}) + \vec{BC} = \vec{0} + \vec{BC} = \vec{BC}. ABCD là hình bình hành \implies \vec{AD} = \vec{BC}. Vậy \vec{EF} = \vec{AD}. Tứ giác AEFD có cặp cạnh đối AD và EF song song và bằng nhau (\vec{AD} = \vec{EF}) \implies AEFD là hình bình hành. Chứng minh ABFC là hình bình hành: ABCD là hình bình hành \implies \vec{AB} song song và bằng \vec{DC}. C là trung điểm của DF \implies \vec{DC} = \vec{CF}. Vậy \vec{AB} = \vec{CF}. Tứ giác ABFC có cặp cạnh đối AB và CF song song và bằng nhau (\vec{AB} = \vec{CF}) \implies ABFC là hình bình hành. b) Chứng minh các trung điểm của AF, DE, BC trùng nhau Gọi M là trung điểm của BC. Ta sẽ chứng minh M cũng là trung điểm của AF và DE. M là trung điểm của AF: Theo câu a), ABFC là hình bình hành. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Hai đường chéo của ABFC là AF và BC. M là trung điểm của BC \implies M cũng là trung điểm của AF. M là trung điểm của DE: Theo câu a), AEFD là hình bình hành. Hai đường chéo của AEFD là AF và DE. Ta đã chứng minh M là trung điểm của AF. Hai đường chéo của hình bình hành cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường. Vậy M (trung điểm của AF) phải là trung điểm của DE. Kết luận: Các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC đều là điểm M, do đó chúng trùng nhau tại M.

ABCD là hình bình hành (gt) \implies O là trung điểm của hai đường chéo AC và BD. Xét \triangle OAM và \triangle OCN: \angle O_1 = \angle O_2 (Hai góc đối đỉnh). OA = OC (O là trung điểm của AC). \angle M_1 = \angle N_1 (Hai góc so le trong, do AB // CD nên AM // CN). \implies \triangle OAM = \triangle OCN (Trường hợp g.c.g - góc-cạnh-góc). \square Suy ra tứ giác MBND là hình bình hành Từ \triangle OAM = \triangle OCN (chứng minh trên) \implies Các cạnh tương ứng bằng nhau: OM = ON và AM = CN. Xét tứ giác MBND có: Hai đường chéo là MN và BD. O là giao điểm của MN và BD (gt). O là trung điểm của BD (O là giao điểm hai đường chéo của hình bình hành ABCD). OM = ON (chứng minh trên) \implies O là trung điểm của MN. Tứ giác MBND có hai đường chéo MN và BD cắt nhau tại trung điểm O của mỗi đường. \implies MBND là hình bình hành (Tứ giác có hai đường chéo cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường là hình bình hành). \square

ABCD là hình bình hành (gt) \implies AB // CD và AB = CD (Tính chất hình bình hành). E là trung điểm của AB (gt) \implies AE = \frac{1}{2}AB. F là trung điểm của CD (gt) \implies DF = \frac{1}{2}CD. Do AB = CD nên AE = DF. Vì AB // CD nên AE // DF (E thuộc AB, F thuộc CD). Tứ giác AEFD có: Cặp cạnh đối AE và DF song song (AE // DF). Cặp cạnh đối AE và DF bằng nhau (AE = DF). \implies AEFD là hình bình hành (Tứ giác có cặp cạnh đối song song và bằng nhau là hình bình hành). \square Chứng minh AECF là hình bình hành: Ta có AE = \frac{1}{2}AB và CF = \frac{1}{2}CD. Do AB = CD (gt) \implies AE = CF. Vì AB // CD nên AE // CF (E thuộc AB, F thuộc CD). Tứ giác AECF có: Cặp cạnh đối AE và CF song song (AE // CF). Cặp cạnh đối AE và CF bằng nhau (AE = CF). \implies AECF là hình bình hành. \square b) Chứng minh EF = AD và AF = EC AEFD là hình bình hành (chứng minh trên). \implies Các cặp cạnh đối bằng nhau: EF = AD và AF = DE. (Tính chất hình bình hành) \square AECF là hình bình hành (chứng minh trên). \implies Các cặp cạnh đối bằng nhau: AF = EC và AE = FC. (Tính chất hình bình hành) \square Vậy ta có EF = AD và AF = EC