Xét tam giác \(A B C\) có hai đường trung tuyến \(B M\) và \(C N\) cắt nhau tại \(G\).

Suy ra \(G\) là trọng tâm tam giác \(A B C\)

\(\Rightarrow B G = \frac{2}{3} B M\); \(C G = \frac{2}{3} C N\)

\(\Rightarrow B M = \frac{3}{2} B G\); \(C N = \frac{3}{2} C G\).

Do đó ta phải chứng minh \(\frac{3}{2} B G + \frac{3}{2} C G > \frac{3}{2} B C\) hay \(B G + C G > B C\). (1)

Bất đẳng thức (1) luôn đúng vì trong một tam giác tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh còn lại.

Vậy \(B M + C N > \frac{3}{2} B C\). (đpcm).

Nhận xét: nếu \(0 < x < y\) và \(a > 0\) thì \(0 < a x < a y\) và \(x y + a x < x y + a y \Rightarrow x \left(\right. y + a \left.\right) < y \left(\right. x + a \left.\right) \Rightarrow \frac{x}{y} < \frac{x + a}{y + a}\).

Do đó, \(\frac{\left(\right. 200 8^{2008} + 1 \left.\right)}{\left(\right. 200 8^{2009} + 1 \left.\right)} < \frac{\left(\right. 200 8^{2008} + 1 \left.\right) + 2007}{\left(\right. 200 8^{2009} + 1 \left.\right) + 2007} \Rightarrow \frac{200 8^{2008} + 1}{200 8^{2009} + 1} < \frac{2008 \left(\right. 200 8^{2007} + 1 \left.\right)}{2008 \left(\right. 200 8^{2008} + 1 \left.\right)}\)

\(\Rightarrow \frac{200 8^{2008} + 1}{200 8^{2009} + 1} < \frac{200 8^{2007} + 1}{200 8^{2008} + 1}\).

Vậy \(A < B\)

- Vẽ hình đúng.

- Có \(\hat{a C D} = \&\text{nbsp}; \hat{b^{'} D C} = 6 0^{\circ}\) và hai góc này ở vị trí so le trong nên \(a a^{'}\) // \(b b^{'}\).

Xét tam giác \(A B C\), có: \(\hat{A} + \hat{B} + \hat{C} = 18 0^{\circ}\)

\(\Rightarrow \hat{B} = 18 0^{\circ} - \left(\right. \hat{A} + \hat{C} \left.\right) = 18 0^{\circ} - \left(\right. 7 0^{\circ} + 3 0^{\circ} \left.\right) = 8 0^{\circ}\).

Do \(B D\) là tia phân giác của góc \(B\), nên \(\hat{A B D} + \hat{D B C} = \frac{1}{2} \hat{B} = 4 0^{\circ}\).

Ta có \(\hat{A D B} = \hat{C} + \hat{D B C} = 3 0^{\circ} + 4 0^{\circ} = 7 0^{\circ}\).

\(\hat{C D B} = 18 0^{\circ} - \hat{A D B} = 18 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 11 0^{\circ}\).

Vậy \(\hat{A D B} = 7 0^{\circ}\), \(\hat{C D B} = 11 0^{\circ} .\)

a) Hà Nội, Quảng Ninh, Lạng Sơn, Hưng Yên, Bắc Ninh, Nghệ An.

b) Hà Nội.

Gọi độ dài đường chéo hình chữ nhật là \(x\), ta có: \(x^{2} = 7^{2} + 6^{2} = 85\).

Suy ra \(x = \sqrt{85} \approx 9 , 2\) dm.

Δ ABC và \(\Delta D B C\) có:

\(\hat{B A C} = \hat{B D C}\);

\(A B = D B\);

\(\hat{A B C} = \hat{D B C}\)

Suy ra \(\Delta A B C = \&\text{nbsp}; \Delta D B C\) (g.c.g)

a) \(\frac{5}{7} . \frac{5}{11} + \frac{5}{7} . \frac{6}{11} - \frac{5}{7} . \frac{4}{11} = \frac{5}{7} . \left(\right. \frac{5}{11} + \frac{6}{11} - \frac{4}{11} \left.\right) = \frac{5}{7} . \frac{7}{11} = \frac{5}{11}\);

b) \(1 , 2 - 3^{2} + 7 , 5\) \(:\) \(3 = 1 , 2 - 9 + 2 , 5 = - 5 , 3\).

1) \(\hat{B A E} = \hat{E A C}\) (giả thiết). (1)

Vì \(A B\) // \(E F\) nên \(\hat{B A E} = \hat{A E F}\) (hai góc so le trong). (2)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{E A C} = \hat{I F C}\) (hai góc đồng vị). (3)

Vì \(A E\) // \(F I\) nên \(\hat{A E F} = \hat{E F I}\) (hai góc so le trong). (4)

Từ (1), (2), (3), (4) suy ra: \(\hat{B A E} = \hat{E A C} = \hat{A E F} = \hat{I F C} = \hat{E F I}\).

2) Từ chứng minh trên, ta có: \(\hat{E F I} = \hat{I F C}\) mà \(F I\) là tia nằm giữa hai tia \(F E\) và \(F C\).

Vậy \(F I\) là tia phân giác của \(\hat{E F C}\).

a) \(A C\) và \(A D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(A C \bot A D\).

\(B C\) và \(B D\) là hai tia phân giác của hai góc kề bù, nên: \(B C \bot B D\).

b) Vì \(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{y A B} = \hat{A B m}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{3}} = \hat{B_{2}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{y A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B m}\)).

Suy ra: \(A D / / B C\).

\(x y\) // \(m n \Rightarrow \hat{x A B} = \hat{A B n}\) (hai góc so le trong).

Vậy \(\hat{A_{2}} = \hat{B_{3}}\) (cùng bằng \(\frac{1}{2} \hat{x A B}\) và \(\frac{1}{2} \hat{A B n}\)).

Suy ra: \(A C / / B D\).

c) \(A D\) // \(B D\) (theo chứng minh b), \(B D \bot B C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A D \bot B D\) (\(B D\) vuông góc với một trong hai đường song song thì vuông góc với đường còn lại).

Suy ra: \(\hat{A D B} = 9 0^{\circ}\).

Tương tự: \(A D\) // \(B C\) (theo chứng minh b); \(A D \bot A C\) (theo chứng minh a).

Vậy \(A C \bot B C\) (như trên).

Suy ra: \(\hat{A C B} = 9 0^{\circ}\)