a)Vì ABCD là hình bình hành (gt)

nên AD // BC và AD=BC (tính chất)

mà AD // BC 

-> ADB^ =CBD^ (2 góc so le trong)

Xét ΔADH và ΔCBK có:

AHD^ =CKB^=90∘

AD=BC (cmt)

ADH^ =CBK^ (cmt)

Vậy ΔADH=ΔCBK (cạnh huyền – góc nhọn).

=> AH =  CK (hai cạnh tương ứng).

Ta có: AH⊥ DB và CK⊥ DB =) AH // CK

Xét tứ giác AHCK có :
AH // CK (cmt)

AH=CK (cmt)

Vậy AHCK là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Vì AHCK là hình bình hành (câu a)

nên hai đường chéo AC và HK cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của HK (gt)

nên I là trung điểm của AC

Vì ABCD là hình bình hành (gt)

nên hai đường chéo AC và BD cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà I là trung điểm của AC (cmt)

nên I là trung điểm của BD

hay IB=ID

a)Vì ABCD là hình bình hành  (gt)

nên AD = BC ; AD // BC (tính chất)

Mà E là trung điểm của AD (gt) -> AE = ED

F là trung điểm của BC(gt) -> BF = FC.

Suy ra DE = BF.

Xét tứ giác EBFD có:

DE // BF (vì AD // BC)
DE = BF (cmt)

Vậy tứ giác EBFD là hình bình hành (dấu hiệu nhận biết).

b) Ta có O là giao điểm của hai đường chéo của hình bình hành ABCD

nên O là trung điểm của BD.

Vì EBFD là hình bình hành (gt)

nên hai đường chéo BD và EF cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường.

Mà O là trung điểm của BD (cmt)

-> O là trung điểm của EF.

Vậy ba điểm E, O, F thẳng hàng.

Xét ΔABC có 2 đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G (gt)

nên G là trọng tâm của ΔABC

Suy ra GM=½ GB​ ; GN=½ GC​ (tính chất) (1)

Mà P là trung điểm của GB (gt)

nên GP=PB=½ GB​ (2)

Q là trung điểm của GC (gt)

nên GQ=QC=1/2 GC(3)

Từ (1), (2) và (3) => GM=GP và GN=GQ

Xét tứ giác PQMN có:

GM=GP (cmt)

GN=GQ (cmt)

Vậy PQMN là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

a)Vì ABCD là hình bình hành(gt)

nên AB = CD; AB // CD(tính chất)

Mà hai điểm B, C lần lượt là trung điểm AE, DF(gt)

Nên AE = DF; AB = BE = CD = CF.

Xét tứ giác AEFD có:

AE // DF(vì AB // CD)

AE = DF (cmt).

Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

Xét tứ giác ABFC có:

AB // CF(vì AB // CD)
AB = CF (cmt).

Vậy tứ giác ABFC là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết)

b) Vì hình bình hành AEFD(câu a)

nên hai đường chéo AF và DE cắt nhau tại trung điểm của mỗi đường,ta gọi giao điểm đó là O.

Hình bình hành ABCF có hai đường chéo AF và BC.

Mà O là trung điểm của AF(cmt)

=> O cũng là trung điểm của BC.

Vậy các trung điểm của ba đoạn thẳng AF, DE, BC trùng nhau.

Vì ABCD là hình bình hành(gt)

+)AC cắt BD tại O => OA=OC , OB=OD

+)AB//CD hay AM//CN => OAM^=OCN^(2 góc so le trong)

Xét Δ OAM và Δ OCN có:
OAM^=OCN^(cmt)

OA=OC(cmt)

MOA^=NOC^(2 góc đối đỉnh)

VậyΔ OAM = Δ OCN (g.c.g)

=>AM=CN(2 cạnh tương ứng)
mà AB=CD(vì ABCD là hình bình hành)
nên AB=AM+BM ; CD=CN+DN

hay BM=DN

Xét tứ giác MBND có:
BM=DN(cmt)

BM//DN(vì AB//CD)

Do đó: tứ giác MBND là hình bình hành.

a)Vì ABCD là hình bình hành(gt)nên AB=CD;AB//CD(tính chất)

mà E,F lần lượt là trung điểm của AB,CD=>AE=BE;CF=DF

Do đó:AE=BE=CF=DF

Xét tứ giác AEFD có:

AE=DE(cmt)

AE//DE(vì AB//CD)
Vậy tứ giác AEFD là hình bình hành
Xét tứ giác AECF có:
AE=CF(cmt)

AE//CF(vì AB//CD)
Vậy tứ giác AECF là hình bình hành
b)Vì AEFD là hình bình hành(câu a) =) AD=EF(tính chất)

Vì AECF là hình bình hành(câu a) =) AF=EC(tính chất)