Ta luôn có \(y^3>x^3\left(x;y\in Z\right)\left(1\right)\)

Xét \(\left(x+2\right)^3-y^3=x^3+6x^2+12x+8-x^3-x^2-x-1\)

\(=5x^2+11x+7=5\left(x^2+2.\frac{11}{10}x+\frac{121}{100}\right)+\frac{19}{20}\)

\(=5\left(x+\frac{11}{10}\right)^2+\frac{19}{20}>0\forall x\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow y^3=\left(x+1\right)^3\Leftrightarrow x^3+x^2+x+1=x^3+3x^2+3x+1\)

\(\Leftrightarrow2x^2+2x=0\Leftrightarrow2x\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)Đến Đây thay vào tìm y là xong

+) Với x =0 => y = -1 hoặc y =1 . Thay vào thỏa mãn

+) Với x khác 0

Có: \(x^4+x^3+x^2+x+1=y^2\)

<=> \(4x^4+4x^3+4x^2+4x+4=4y^2\)

=> \(4y^2=\left(4x^4+4x^3+x^2\right)+\left(3x^2+4x+4\right)>\left(4x^4+4x^3+x^2\right)=\left(2x+x\right)^2\)(1)

( vì \(3x^2+4x+4>0\))

và \(4y^2=\left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)-5x^2< \left(4x^4+x^2+4+4x^3+8x^2+4x\right)\)

                                                                                                            \(=\left(2x+x+2\right)^2\)(2)

( vì x khác 0 => \(x^2>0\))

tỪ (1) VÀ (2) => \(\left(2x^2+x\right)^2< 4y^2< \left(2x^2+x+2\right)^2\)

=> \(4y^2=\left(2x^2+x+1\right)^2\)

=> \(\left(2x^2+x\right)^2+3x^2+4x+4=\left(2x^2+x\right)^2+2\left(2x^2+x\right)+1\)

<=> \(x^2-2x-3=0\)

<=> x = -1 hoặc x = 3

Với x =-1 => y = -1 hoặc 1 . Thử lại thỏa mãn

Với x = 3 => y = 11 hoặc -11. Thử lại thỏa mãn.

Vậy: phương trình trên có nghiệm ( x; y ) là \(\left(0;\pm1\right);\left(-1;\pm1\right);\left(3;\pm11\right)\)

\(2y\left(2x^2+1\right)-2x\left(2y^2+1\right)+1=x^3y^3\Leftrightarrow4xy\left(x+1\right)-4xy\left(y+1\right)+1=\left(xy\right)^3\)

\(\Leftrightarrow\left(4xy-4xy\right)\left(x+1+y+1\right)+1=\left(xy\right)^3\Rightarrow1=\left(xy\right)^3\Rightarrow xy=1\)

=> x=1;y=1

     x=-1;y=-1

1 + x + x² + x³ = y³ 

=> x² + x + 1 = y³ - x³

mà x² + x + 1 > 0

=> y³ - x³ > 0

=> x³ < y³ (1)

Lại có 1 + x + x² + x³ = y³

=> x³ + 6x² + 12x + 8 - 5x² - 11x - 7 = y³

=> (x + 2)³ - y³ = 5x² + 11x + 7

Nhận thấy 5x² + 11x + 7 > 0 \(\forall x\)

=> (x + 2)³ > y³ (2)

Từ (1)(2) => x³ < y³ < (x + 2)³ => y³ = (x + 1)³ (Vì x;y nguyên)

Khi đó 1 + x + x² + x³ = (x + 1)³

<=> 1 + x + x² + x³ = x³ + 3x² + 3x + 1

<=> 2x² + 2x = 0

<=> 2x(x + 1) = 0

<=> \(\orbr{\begin{cases}2x=0\\x+1=0\end{cases}}\Leftrightarrow\orbr{\begin{cases}x=0\\x=-1\end{cases}}\)

Khi x = 0 => y = 1 

Khi x = -1 => y = 0

Vậy các cặp (x;y) nguyên thỏa mãn là (1;0) ; (-1;0)