a) Vì D là điểm đối xứng với A qua \(M\left(gt\right)\)

=> M là trung điểm của \(AD.\)

=> \(AM=DM.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(AMB\) và \(DMC\) có:

\(AM=DM\left(cmt\right)\)

\(\widehat{AMB}=\widehat{DMC}\) (vì 2 góc đối đỉnh)

\(MB=MC\) (vì M là trung điểm của \(BC\))

=> \(\Delta AMB=\Delta DMC\left(c-g-c\right).\)

b) Theo câu a) ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC.\)

=> \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\) (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AB\) // \(CD.\)

c) Theo câu a) ta có \(\Delta AMB=\Delta DMC.\)

=> \(AB=DC\) (2 cạnh tương ứng).

Lại có: \(\widehat{ABM}=\widehat{DCM}\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}.\)

Xét 2 \(\Delta\) \(ABC\) và \(DCB\) có:

\(AB=DC\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{DCB}\left(cmt\right)\)

Cạnh BC chung

=> \(\Delta ABC=\Delta DCB\left(c-g-c\right)\) (1).

=> \(\widehat{ACB}=\widehat{DBC}\) (2 góc tương ứng).

Mà 2 góc này nằm ở vị trí so le trong.

=> \(AC\) // \(BD.\)

Từ (1) => \(\widehat{BAC}=\widehat{CDB}\) (2 góc tương ứng).

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right)\)

=> \(\widehat{CDB}=90^0.\)

=> \(CD\perp BD.\)

Mà \(AC\) // \(BD\left(cmt\right)\)

=> \(AC\perp CD.\)

d) Có 2 cách:

Cách 1:

Ta có: \(AC\perp CD\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{DCA}=90^0.\)

Mà \(\widehat{BAC}=90^0\left(gt\right).\)

=> \(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0.\)

Xét 2 \(\Delta\) vuông \(ABC\) và \(CDA\) có:

\(\widehat{BAC}=\widehat{DCA}=90^0\)

\(AB=CD\left(cmt\right)\)

Cạnh AC chung

=> \(\Delta ABC=\Delta CDA\) (cạnh huyền - cạnh góc vuông).

Cách 2:

Vì \(AB\) // \(CD\left(cmt\right)\)

=> \(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\) (vì 2 góc so le trong).

Xét 2 \(\Delta\) \(ABC\) và \(CDA\) có:

\(AB=CD\left(cmt\right)\)

\(\widehat{ABC}=\widehat{CDA}\left(cmt\right)\)

Cạnh AC chung

=> \(\Delta ABC=\Delta CDA\left(c-g-c\right).\)

e) Theo câu d) ta có \(\Delta ABC=\Delta CDA.\)

=> \(BC=AD\) (2 cạnh tương ứng).

Ta có: M là trung điểm của \(AD\left(cmt\right)\)

=> \(AM=\frac{1}{2}AD\) (tính chất trung điểm).

Mà \(AD=BC\left(cmt\right)\)

=> \(AM=\frac{1}{2}BC\left(đpcm\right).\)

Chúc bạn học tốt!

a+b) Xét t/g MAB và t/g MDC có:

MB = MC (gt)

AMB = DMC ( đối đỉnh)

MA = MD (gt)

Do đó, t/g MAB = t/g MDC (c.g.c) (đpcm)

=> AB = CD (2 cạnh tương ứng)

MAB = MDC (2 góc tương ứng)

Mà MAB và MDC là 2 góc ở vị trí so le trong nên AB//CD

t/g ABC = t/g CDA (2 cạnh góc vuông) (đpcm)

c) Tương tự như câu a ta cũng có: t/g BMD = t/g CMA (c.g.c)

=> BDM = CAM (2 góc tương ứng)

Mà BDM và CAM là 2 góc ở vị trí so le trong nên BD // AC

Có: AB _|_ AC (gt)

AB // CD => AC _|_ CD

Lại có: BD // AC => CD _|_ BD

=> t/g BDC vuông tại D (đpcm)

b: Xét tứ giác ABCD có 

AB//CD

AB=CD

Do đó:ABCD là hình bình hành

Suy ra: AD=BC

a) góc B=CAH do cùng phụ với C

b) CDA = B+BAD do CDA là góc ngoài tam giác BAD

   ta có CDA = B+BAD

            CDA=CAH+BAD

            CDA=CAH+DAH

            CDA=CAD (đpcm)

Bài 1:

a) Xét \(\Delta ABH\) vuông tại \(H\left(gt\right)\) có:

\(AH^2+BH^2=AB^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(12^2+BH^2=15^2\)

=> \(BH^2=15^2-12^2\)

=> \(BH^2=225-144\)

=> \(BH^2=81\)

=> \(BH=9\left(cm\right)\) (vì \(BH>0\)).

+ Xét \(\Delta ACH\) vuông tại \(H\left(gt\right)\) có:

\(AH^2+HC^2=AC^2\) (định lí Py - ta - go).

=> \(12^2+HC^2=20^2\)

=> \(HC^2=20^2-12^2\)

=> \(HC^2=400-144\)

=> \(HC^2=256\)

=> \(HC=16\left(cm\right)\) (vì \(HC>0\)).

b) Ta có: \(BC=BH+HC.\)

=> \(BC=9+16\)

=> \(BC=25\left(cm\right).\)

+ Xét \(\Delta ABC\) có:

\(AB^2+AC^2=15^2+20^2\)

=> \(AB^2+AC^2=225+400\)

=> \(AB^2+AC^2=625\) (1).

\(BC^2=25^2\)

=> \(BC^2=625\) (2).

Từ (1) và (2) => \(AB^2+AC^2=BC^2\left(=625\right).\)

=> \(\Delta ABC\) vuông tại \(A\) (định lí Py - ta - go đảo) (đpcm).

Chúc bạn học tốt!