Câu hỏi của Giang Hoàng Phương Linh

Question

Cho tam giác nhọn ABC (AB < AC) nội tiếp đường tròn (O, R), ba đường cao AD, BE, CF giao nhau tại trực tâm H. Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác DEF.

Nguyễn Lê Phước Thịnh · Accepted Answer

Xét tứ giác AFHE có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0$

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có $\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0$

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có $\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0$

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\widehat{EFH}=\widehat{EAH}$(AEHF nội tiếp)

$\widehat{DFH}=\widehat{DBH}$(BFHD nội tiếp)

mà $\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)$

nên $\widehat{EFH}=\widehat{DFH}$

=>FH là phân giác của góc EFD

Ta có: $\widehat{FDH}=\widehat{FBH}$(FBDH nội tiếp)

$\widehat{EDH}=\widehat{ECH}$(ECDH nội tiếp)

mà $\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)$

nên $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$

=>DH là phân giác của góc FDE

Xét ΔEFD có

FH,DH là các đường phân giác

FH cắt DH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD

Câu trả lời:

Xét tứ giác AFHE có $\widehat{AFH}+\widehat{AEH}=90^0+90^0=180^0$

nên AFHE là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác BFHD có $\widehat{BFH}+\widehat{BDH}=90^0+90^0=180^0$

nên BFHD là tứ giác nội tiếp

Xét tứ giác CEHD có $\widehat{CEH}+\widehat{CDH}=90^0+90^0=180^0$

nên CEHD là tứ giác nội tiếp

Ta có: $\widehat{EFH}=\widehat{EAH}$(AEHF nội tiếp)

$\widehat{DFH}=\widehat{DBH}$(BFHD nội tiếp)

mà $\widehat{EAH}=\widehat{DBH}\left(=90^0-\widehat{ACB}\right)$

nên $\widehat{EFH}=\widehat{DFH}$

=>FH là phân giác của góc EFD

Ta có: $\widehat{FDH}=\widehat{FBH}$(FBDH nội tiếp)

$\widehat{EDH}=\widehat{ECH}$(ECDH nội tiếp)

mà $\widehat{FBH}=\widehat{ECH}\left(=90^0-\widehat{BAC}\right)$

nên $\widehat{FDH}=\widehat{EDH}$

=>DH là phân giác của góc FDE

Xét ΔEFD có

FH,DH là các đường phân giác

FH cắt DH tại H

Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD

Đoàn Hải Uyên · Answer

Xét tứ giác AFHE có A F H ^ + A E H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 AFH + AEH =90 0 +90 0 =180 0 nên AFHE là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác BFHD có B F H ^ + B D H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 BFH + BDH =90 0 +90 0 =180 0 nên BFHD là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác CEHD có C E H ^ + C D H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 CEH + CDH =90 0 +90 0 =180 0 nên CEHD là tứ giác nội tiếp Ta có: E F H ^ = E A H ^ EFH = EAH (AEHF nội tiếp) D F H ^ = D B H ^ DFH = DBH (BFHD nội tiếp) mà E A H ^ = D B H ^ ( = 9 0 0 − A C B ^ ) EAH = DBH (=90 0 − ACB ) nên E F H ^ = D F H ^ EFH = DFH =>FH là phân giác của góc EFD Ta có: F D H ^ = F B H ^ FDH = FBH (FBDH nội tiếp) E D H ^ = E C H ^ EDH = ECH (ECDH nội tiếp) mà F B H ^ = E C H ^ ( = 9 0 0 − B A C ^ ) FBH = ECH (=90 0 − BAC ) nên F D H ^ = E D H ^ FDH = EDH =>DH là phân giác của góc FDE Xét ΔEFD có FH,DH là các đường phân giác FH cắt DH tại H Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD

Câu trả lời:

Xét tứ giác AFHE có A F H ^ + A E H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 AFH + AEH =90 0 +90 0 =180 0 nên AFHE là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác BFHD có B F H ^ + B D H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 BFH + BDH =90 0 +90 0 =180 0 nên BFHD là tứ giác nội tiếp Xét tứ giác CEHD có C E H ^ + C D H ^ = 9 0 0 + 9 0 0 = 18 0 0 CEH + CDH =90 0 +90 0 =180 0 nên CEHD là tứ giác nội tiếp Ta có: E F H ^ = E A H ^ EFH = EAH (AEHF nội tiếp) D F H ^ = D B H ^ DFH = DBH (BFHD nội tiếp) mà E A H ^ = D B H ^ ( = 9 0 0 − A C B ^ ) EAH = DBH (=90 0 − ACB ) nên E F H ^ = D F H ^ EFH = DFH =>FH là phân giác của góc EFD Ta có: F D H ^ = F B H ^ FDH = FBH (FBDH nội tiếp) E D H ^ = E C H ^ EDH = ECH (ECDH nội tiếp) mà F B H ^ = E C H ^ ( = 9 0 0 − B A C ^ ) FBH = ECH (=90 0 − BAC ) nên F D H ^ = E D H ^ FDH = EDH =>DH là phân giác của góc FDE Xét ΔEFD có FH,DH là các đường phân giác FH cắt DH tại H Do đó: H là tâm đường tròn nội tiếp ΔEFD

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP