Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
A B C H O P E F M N U V V' K S T L J G I
Gọi EN giao FM tại K, AP cắt BC tại V, AK cắt BC tại U. Giao điểm của EF với AK và AP lần lượt là L và I.
Áp dụng ĐL Thales ta dễ có \(\frac{FL}{AM}=\frac{KF}{KM}=\frac{EF}{MN}=\frac{EI}{AM}\Rightarrow FL=EI\). Từ đây BU = CV
Suy ra hai điểm U,V đối xứng với nhau qua trung điểm T của cạnh BC (1)
Mặt khác gọi S là chân đường cao xuất phát từ A của tam giác ABC. KJ vuông góc AH tại J, AH cắt EF tại G.
Ta thấy ^KJH = ^KEH = ^KFH = 900 nên năm điểm E,F,K,H,J đồng viên
Từ đó \(GE.GF=GH.GJ\Rightarrow\frac{1}{4}SB.SC=\frac{1}{4}SH.SA=GH.GJ\)
Hay \(d_{\left(O,EF\right)}.AG=GH.d_{\left(K,EF\right)}\Rightarrow\frac{d_{\left(O,EF\right)}}{d_{\left(K,EF\right)}}=\frac{GH}{AG}\). Từ đó dễ suy ra L,O,H thẳng hàng
Gọi cát tuyến LOH cắt BC tại V'. Ta lại có CF và OH cắt nhau tại trọng tâm tam giác ABC nên theo ĐL Thales:
\(CV'=2.FL=BU\). Suy ra hai điểm U và V' đối xứng nhau qua trung điểm cạnh BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra V trùng V'. Mà AP cắt BC tại V, OH (Đường Euler của tam giác ABC) cắt BC tại V'
Nên OH,AP,BC đồng quy (đpcm).
A B C B' C' A' E M
Từ giả thiết ta suy ra tam giác ABC là tam giác vuông cân tại B
Thể tích của khối lăng trụ là \(V_{ABC.A'B'C'}=AA'.BC=a\sqrt{2.}\frac{1}{2}a^2=\frac{\sqrt{2}}{2}a^3\)
Gọi E là trung điểm của BB'. Khi đó mặt phẳng (AME) song song với B'C nên khoảng cách giữa 2 đường thẳng AM, B'C bằng khoảng cách giữa B'C và mặt phẳng (AME)
Nhận thấy, khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME) bằng khoảng cách từ C đến mặt phẳng (AME)
Gọi h là khoảng cách từ B đến mặt phẳng (AME). Do đó tứ diện BAME có BA, BM, BE đôi một vuông góc với nhau nên :
\(\frac{1}{h^2}=\frac{1}{BA^2}+\frac{1}{BM^2}+\frac{1}{BE^2}\Rightarrow\frac{1}{h^2}=\frac{1}{a^2}+\frac{4}{a^2}+\frac{2}{a^2}=\frac{7}{a^2}\)
\(\Rightarrow h=\frac{a\sqrt{7}}{7}\)
Vậy khoảng cách giữa 2 đường thẳng B'C và AM bằng \(\frac{a\sqrt{7}}{7}\)
) Gọi P là tr/điểm AS
=> SA v/góc BP (t/giác SAB đêu)
SA v/góc BM =>SA v/góc (BPM)
Gọi P, Q lần lượt là tr/điểm AS và AJ
=> PQ là đ/t/bình t/giác ASJ
=> SJ // PQ. Mặt khác, t/giác SAJ có:
vuông tại S
=> AS v/góc SJ => AS v/góc PQ
Lại có: AS v/góc BP (t/giác SAB đều) => AS v/góc (BPQ) => AS v/góc BQ, lúc đó M là giao điểm BQ và CD.
AB // JM => . Trong t/giác vuông ADM có:
Ta cần tìm vector \(\overset{⃗}{A J}\) theo các vector \(\overset{⃗}{A B}\) và \(\overset{⃗}{A C}\), dựa trên các tỷ lệ đoạn thẳng trên cạnh \(B C\).
Bước 1: Gọi các điểm và biểu diễn vector
Gọi \(A\), \(B\), \(C\) là 3 điểm trong mặt phẳng. Đặt:
=> \(\overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u}\)
Bước 2: Tìm tọa độ điểm \(I\) theo tỉ lệ \(2 C I = 3 B I\)
Tỉ lệ \(2 C I = 3 B I\) ⇔ \(\frac{C I}{B I} = \frac{3}{2}\)
Biến đổi:
\(\frac{B I}{C I} = \frac{2}{3} \Rightarrow \frac{B I}{B C} = \frac{2}{5} , \frac{C I}{B C} = \frac{3}{5}\)
=> \(I\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ lệ \(B I : I C = 2 : 3\)
Vậy:
\(\overset{⃗}{A I} = \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{5} \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \frac{2}{5} \left(\right. \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u} \left.\right) = \overset{⃗}{u} \left(\right. 1 - \frac{2}{5} \left.\right) + \frac{2}{5} \overset{⃗}{v} = \frac{3}{5} \overset{⃗}{u} + \frac{2}{5} \overset{⃗}{v}\)
Bước 3: Tìm tọa độ điểm \(J\) theo tỉ lệ \(5 J B = 2 J C\)
Tỉ lệ \(5 J B = 2 J C\) ⇔ \(\frac{J B}{J C} = \frac{2}{5}\)
=> \(\frac{J C}{B C} = \frac{5}{7} , \frac{J B}{B C} = \frac{2}{7}\)
=> \(J\) chia đoạn \(B C\) theo tỉ lệ \(J C : J B = 5 : 2\)
Tức là:
\(\overset{⃗}{A J} = \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{B C} = \overset{⃗}{u} + \frac{2}{7} \left(\right. \overset{⃗}{v} - \overset{⃗}{u} \left.\right) = \overset{⃗}{u} \left(\right. 1 - \frac{2}{7} \left.\right) + \frac{2}{7} \overset{⃗}{v} = \frac{5}{7} \overset{⃗}{u} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{v}\)
✅ Kết luận:
\(\boxed{\overset{⃗}{A J} = \frac{5}{7} \overset{⃗}{A B} + \frac{2}{7} \overset{⃗}{A C}}\)
AJ, AB, AC ở đây là đoạn thẳng hay vecto em?