Tóm tắt ngắn gọn các bước và kết luận:

• a) AMNP là hình bình hành (cặp cạnh đối song song: AM ∥ PN và AN ∥ MP, nhờ I là trung điểm của PM và AN và M, P đối xứng qua I; nên AM = PN và AN = MP).
• b) BM = PD (đối xứng qua I: M ↔ P và A ↔ N; kết hợp với vị trí của B và D đối xứng qua đường chéo AC trong hình vuông dẫn tới BM = PD).
• c) Q = giao BM ∩ PD và C, N thẳng hàng với Q (của bài, Q là tâm đối xứng giữa hai đường thẳng qua các cặp đối xứng, nên CQ ∥ CN, suy ra C, Q, N collinear).

Để giải, ta nhận thấy mẫu tổng:

A = Σ_{k=1}^{9} a_k, với a_k = (2k+1) / k^2 / (k+1)^2

cụ thể từng phần:

• For k = 1: (3) / (1^2·2^2) = 3 / (1·4)
• k = 2: (5) / (4·9)
• k = 3: (7) / (9·16)
• ...
• k = 9: (19) / (81·100)

Tuy nhiên ở mô tả ban đầu bạn có vẻ đang viết dạng (2k+1) / [k^2 (k+1)^2]. Ta sẽ khai triển bằng phân tích phân số.

Ta có:

\(\frac{2 k + 1}{k^{2} \left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{A}{k} + \frac{B}{k^{2}} + \frac{C}{k + 1} + \frac{D}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)

Giải hệ để tìm A,B,C,D (không phải cần thiết chi tiết cho kết quả cuối cùng, chỉ cần kết quả tổng):

Một cách ngắn gọn là nhận thấy:

\(\frac{2 k + 1}{k^{2} \left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \left(\left(\right. \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \left.\right)\right)^{2}\)

và

\(\left(\left(\right. \frac{1}{k} - \frac{1}{k + 1} \left.\right)\right)^{2} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{2}{k \left(\right. k + 1 \left.\right)} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)

Nhưng dùng trực tiếp công thức phân tích thành tổng telescoping có dạng:

\(\frac{2 k + 1}{k^{2} \left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{1}{k^{2}} - \frac{2}{k \left(\right. k + 1 \left.\right)} + \frac{1}{\left(\right. k + 1 \left.\right)^{2}}\)

khi cộng từ k=1 đến 9, các phần có thể telescope được.

Cụ thể:

• Σ (1/k^2) từ 1 đến 9
• -2 Σ 1/[k(k+1)] từ 1 đến 9 = -2 Σ (1/k - 1/(k+1)) = -2(1 - 1/10) = -2(9/10) = -9/5
• Σ 1/(k+1)^2 từ 1 đến 9 = Σ_{j=2}^{10} 1/j^2 = (Σ_{j=1}^{10} 1/j^2) - 1

Vì vậy:
A = [Σ_{k=1}^{9} 1/k^2] - 9/5 + [Σ_{j=2}^{10} 1/j^2]

= [ (Σ_{k=1}^{9} 1/k^2) + (Σ_{j=2}^{10} 1/j^2) ] - 9/5

Note that Σ_{k=1}^{9} 1/k^2 + Σ_{j=2}^{10} 1/j^2 = 1 + 2 Σ_{n=2}^{9} (1/n^2) + 1/10^2? Cẩn thận:

• First sum: S9 = Σ_{k=1}^{9} 1/k^2
• Second sum: S10 − 1 (since Σ_{j=2}^{10} 1/j^2 = S10 − 1)

Vậy A = S9 + (S10 − 1) − 9/5 = (S9 + S10) − 1 − 9/5 = (S9 + S10) − 14/5

Các giá trị số thực:

• S9 ≈ 1^(-2) + ... + 9^(-2) ≈ 1 + 0.25 + 0.111111... + 0.0625 + 0.04 + 0.0277778 + 0.0204082 + 0.015625 + 0.0123457 ≈ 1.539767
  Cụ thể: S9 ≈ 1.539767
• S10 ≈ S9 + 1/100 = 1.549767

Do đó A ≈ (1.539767 + 1.549767) − 14/5
= 3.089534 − 2.8
= 0.289534

Vậy A ≈ 0.2895 (làm tròn 4 chữ số thập phân).

Nếu bạn muốn chữ số exact, ta có thể tính hằng số S9 và S10 bằng phân số nhưng giá trị decimal là thuận tiện. Bạn có muốn mình cung cấp dạng đúng phân số cho A không hay kết quả số thập phân là đủ?