Gọi \(E , F\) lần lượt là tâm của \(\left(\right. O \left.\right)\) và \(\left(\right. O^{'} \left.\right)\).

Vì \(\left(\right. O \left.\right)\) tiếp xúc với \(A B\) tại \(B\) nên

\(E B \bot A B .\)

Tương tự,

\(F C \bot A C .\)

Mặt khác \(D\) là trung điểm của \(B C\), lại có \(B , C , D\) thẳng hàng nên trong tam giác vuông \(E B D\):

\(E B^{2} = B D \cdot B C .\)

Mà \(B D = D C = \frac{B C}{2}\), suy ra

\(E B = B D .\)

Do đó tam giác \(E B D\) vuông cân tại \(B\), suy ra

\(\angle B D E = 45^{\circ} .\)

Tương tự, tam giác \(F C D\) vuông cân tại \(C\), nên

\(\angle C D F = 45^{\circ} .\)

Vì \(M \in \left(\right. O \left.\right) \cap \left(\right. O^{'} \left.\right)\) nên

\(E M = E D , F M = F D .\)

Suy ra \(E\) và \(F\) cùng nằm trên đường trung trực của \(D M\). Do đó

\(E F \bot D M .\)

Mặt khác:

• \(D E\) tạo với \(B C\) góc \(45^{\circ}\),
• \(D F\) cũng tạo với \(B C\) góc \(45^{\circ}\) ở phía kia.

Suy ra \(E F \parallel B C\). Vì \(E F \bot D M\) nên

\(D M \bot B C .\)

Gọi \(M^{'}\) là điểm đối xứng của \(M\) qua \(B C\). Vì \(D M \bot B C\) và \(D \in B C\), nên \(D\) là trung điểm của \(M M^{'}\). Do đó

\(D M^{'} = D M .\)

Ta sẽ chứng minh \(A , D , M^{'}\) thẳng hàng.

Đặt hệ trục sao cho:

\(B \left(\right. - 1 , 0 \left.\right) , C \left(\right. 1 , 0 \left.\right) , D \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , A \left(\right. 0 , a \left.\right) \&\text{nbsp}; \left(\right. a > 0 \left.\right) .\)

Khi đó:

• đường thẳng \(A B\): \(y = a \left(\right. x + 1 \left.\right)\),
• đường thẳng \(A C\): \(y = a \left(\right. 1 - x \left.\right)\).

Do \(\left(\right. O \left.\right)\) tiếp xúc \(A B\) tại \(B\) và đi qua \(D\), tâm \(E\) nằm trên:

• trung trực của \(B D\): \(x = - \frac{1}{2}\),
• đường vuông góc với \(A B\) tại \(B\).

Từ đó tính được

\(E \left(\right. - \frac{1}{2} , \frac{1}{2 a} \left.\right) .\)

Tương tự

\(F \left(\right. \frac{1}{2} , \frac{1}{2 a} \left.\right) .\)

Vậy \(E F\) là đường thẳng

\(y = \frac{1}{2 a} .\)

Do \(D M \bot E F\), nên \(D M\) là trục tung \(x = 0\).

Lại vì \(M \in \left(\right. O \left.\right)\), thay \(x = 0\) vào phương trình \(\left(\right. O \left.\right)\) thu được

\(M \left(\right. 0 , \frac{1}{a} \left.\right) .\)

Suy ra điểm đối xứng của \(M\) qua \(B C\) là

\(M^{'} \left(\right. 0 , - \frac{1}{a} \left.\right) .\)

Mà

\(A \left(\right. 0 , a \left.\right) , D \left(\right. 0 , 0 \left.\right) , M^{'} \left(\right. 0 , - \frac{1}{a} \left.\right)\)

đều có hoành độ bằng \(0\), nên thẳng hàng.

Vậy \(M^{'} , A , D\) thẳng hàng.

Ta cần xếp 22 khối lập phương cạnh 1 cm thành một hình hộp chữ nhật sao cho diện tích toàn phần nhỏ nhất.

Gọi kích thước của hình hộp chữ nhật là \(a \times b \times c\) (đơn vị cm), với:

Vì \(a , b , c\) là số nguyên dương (do ghép từ các khối 1×1×1), ta phân tích 22:

Tính diện tích toàn phần:

Công thức:

Trường hợp 1: \(1 \times 1 \times 22\)

Trường hợp 2: \(1 \times 2 \times 11\)

Kết luận:

Diện tích toàn phần nhỏ nhất là:

mik học sách KNTT bạn ạ, thông cảm nha

Gọi chiều dài là a a (m), chiều rộng là b b (m). 1. Lập hệ điều kiện Nửa chu vi là 65 m: a + b = 65 a+b=65 Chiều rộng bằng 5 8 8 5 ​ chiều dài: b = 5 8 a b= 8 5 ​ a 2. Giải hệ Thay vào: a + 5 8 a = 65 a+ 8 5 ​ a=65 13 8 a = 65 ⇒ a = 65 ⋅ 8 13 = 40 8 13 ​ a=65⇒a=65⋅ 13 8 ​ =40 Suy ra: b = 5 8 ⋅ 40 = 25 b= 8 5 ​ ⋅40=25 3. Diện tích mảnh đất S = a ⋅ b = 40 ⋅ 25 = 1000 m 2 S=a⋅b=40⋅25=1000 m 2 4. Sản lượng rau Mỗi 1 m 2 1 m 2 thu được 2 kg rau: 1000 × 2 = 2000 kg 1000×2=2000 kg ✅ Kết luận: Diện tích mảnh đất: 1000 m² Thu hoạch được: 2000 kg rau

Ta có phương trình:

\(x y^{2} + 2 x y - 243 y + x = 0\)

Nhóm theo \(x\):

\(x \left(\right. y^{2} + 2 y + 1 \left.\right) - 243 y = 0\)

Nhận ra:

\(y^{2} + 2 y + 1 = \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}\)

Nên phương trình trở thành:

\(x \left(\right. y + 1 \left.\right)^{2} = 243 y\)

Suy ra:

\(x = \frac{243 y}{\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}}\)

Vì \(x , y\) là số tự nhiên nên \(\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}\) phải chia hết cho \(243 y\).

Ta phân tích \(243 = 3^{5}\), nên thử các giá trị \(y\) sao cho biểu thức nguyên.

Thử lần lượt các \(y\) nhỏ:

• \(y = 0\): \(x = 0\) (loại nếu yêu cầu số tự nhiên dương; nếu chấp nhận 0 thì có nghiệm \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\))
• \(y = 1\):

\(x = \frac{243}{4} \notin \mathbb{N}\)

• \(y = 2\):

\(x = \frac{486}{9} = 54 \Rightarrow \left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 54 , 2 \left.\right)\)

• \(y = 3\):

\(x = \frac{729}{16} \notin \mathbb{N}\)

• \(y = 4\):

\(x = \frac{972}{25} \notin \mathbb{N}\)

• \(y = 5\):

\(x = \frac{1215}{36} \notin \mathbb{N}\)

• \(y = 8\):

\(x = \frac{243 \cdot 8}{81} = 24 \Rightarrow \left(\right. 24 , 8 \left.\right)\)

• \(y = 26\):

\(x = \frac{243 \cdot 26}{27^{2}} = \frac{6318}{729} = \text{kh} \hat{\text{o}} \text{ng}\&\text{nbsp};\text{nguy} \hat{\text{e}} \text{n}\)

• \(y = 26\) sai, thử \(y = 26\) không được.
• \(y = 26\) không hợp lý tiếp.
• \(y = 26\) loại.
• \(y = 26\) bỏ.

Tiếp tục kiểm tra dạng chia hết cho \(\left(\right. y + 1 \left.\right)^{2}\), ta thử \(y + 1\) là 3, 9, 27:

Trường hợp \(y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2\)

→ đã có \(x = 54\)

Trường hợp \(y + 1 = 9 \Rightarrow y = 8\)

→ \(x = 24\)

Trường hợp \(y + 1 = 27 \Rightarrow y = 26\)

\(x = \frac{243 \cdot 26}{729} = \frac{6318}{729} = 8.66... \notin \mathbb{N}\)

Vậy không hợp.

Kết luận:

Các cặp số tự nhiên thỏa mãn là:

\(\boxed{\left(\right. x , y \left.\right) = \left(\right. 54 , 2 \left.\right) , \&\text{nbsp}; \left(\right. 24 , 8 \left.\right)}\)

(Nếu tính cả \(0\) thì thêm \(\left(\right. 0 , 0 \left.\right)\)).

Diện tích một mặt của hình lập phương là \(a^{2} = 8 \&\text{nbsp}; \text{cm}^{2}\).

Suy ra cạnh:

Thể tích hình lập phương:

Đáp án: \(16 \sqrt{2} \&\text{nbsp}; \text{cm}^{3}\)

3600

30

kệ đi

cả 2