1. Chứng minh ΔAKM vuông:

• Bước 1: Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành.
• • Ta có: AE = CK (vì E, K là trung điểm của AB, CD và AB = CD).
  • AE // CK (vì AB // CD).
  • Suy ra: Tứ giác AECD là hình bình hành.
• Bước 2: Chứng minh DE // AC.
• • Vì AECD là hình bình hành nên DE // AC.
• Bước 3: Chứng minh ΔAKM vuông.
• • Ta có: DM ⊥ CE và CE // AK (vì CE và AK cùng nằm trên đường thẳng CD).
  • Suy ra: DM ⊥ AK.
  • Vậy, ΔAKM vuông tại M.

2. Chứng minh ΔADM cân và tính ∠ANB:

• Bước 1: Chứng minh ΔADM cân.
• • Ta có: AD = CD (vì ABCD là hình vuông) và CK = 1/2 CD.
  • Suy ra: AD = 2CK.
  • Xét ΔADE và ΔCDK:
  • • AE = CK (cmt).
    • AD = CD (cmt).
    • ∠DAE = ∠KCD = 90°.
    • Suy ra: ΔADE = ΔCDK (c.g.c).
    • Suy ra: DE = AK.
  • Xét ΔADM và ΔCDM:
  • • DM chung.
    • AD = CD (cmt).
    • ∠ADM = ∠CDM = 90°.
    • Suy ra: ΔADM = ΔCDM (c.g.c).
    • Suy ra: AM = CM.
  • Xét ΔAKM và ΔCEM:
  • • AM = CM (cmt).
    • KM chung.
    • AK = CE (vì DE = AK và CE = DE).
    • Suy ra: ΔAKM = ΔCEM (c.c.c).
    • Suy ra: ∠KAM = ∠ECM.
  • Xét ΔADM:
  • • ∠DAM = ∠ADM = 45° (vì ΔADE = ΔCDK).
    • Suy ra: ΔADM cân tại M.
• Bước 2: Tính ∠ANB.
• • Gọi I là giao điểm của AK và CD.
  • Xét ΔABI và ΔCDI:
  • • AB = CD (cmt).
    • ∠BAI = ∠CDI = 45°.
    • ∠ABI = ∠CDI = 45°.
    • Suy ra: ΔABI = ΔCDI (g.c.g).
    • Suy ra: AI = DI.
  • Xét ΔAND và ΔBNC:
  • • ∠ADN = ∠BCN = 45°.
    • AD = BC (cmt).
    • ∠DAN = ∠CBN (vì ΔABI = ΔCDI).
    • Suy ra: ΔAND = ΔBNC (g.c.g).
    • Suy ra: AN = BN.
  • Xét ΔANB:
  • • AN = BN (cmt).
    • Suy ra: ΔANB cân tại N.
    • ∠ANB = 180° - 2∠NAB = 180° - 2(45°) = 90°.

3. Chứng minh CF ≤ 2EF:

• Bước 1: Chứng minh CF là đường phân giác của ∠DCE.
• • Vì CF là tia phân giác của ∠DCE nên ∠DCF = ∠ECF.
• Bước 2: Chứng minh ΔCDF = ΔCEF.
• • Xét ΔCDF và ΔCEF:
  • • CF chung.
    • ∠DCF = ∠ECF (cmt).
    • CD = CE (vì CD = AB và CE = AB).
    • Suy ra: ΔCDF = ΔCEF (c.g.c).
    • Suy ra: DF = EF.
• Bước 3: Chứng minh CF ≤ 2EF.
• • Ta có: CF = DF + EF.
  • Suy ra: CF = EF + EF = 2EF.
  • Vậy, CF ≤ 2EF.

Hy vọng lời giải này sẽ giúp bạn hiểu rõ bài toán. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào khác, đừng ngần ngại hỏi tôi nhé!

1. Chứng minh ΔAKM vuông:

• Bước 1: Chứng minh tứ giác AECD là hình bình hành.
• • Ta có: AE = CK (vì E, K là trung điểm của AB, CD và AB = CD).
  • AE // CK (vì AB // CD).
  • Suy ra: Tứ giác AECD là hình bình hành.
• Bước 2: Chứng minh DE // AC.
• • Vì AECD là hình bình hành nên DE // AC.
• Bước 3: Chứng minh ΔAKM vuông.
• • Ta có: DM ⊥ CE và CE // AK (vì CE và AK cùng nằm trên đường thẳng CD).
  • Suy ra: DM ⊥ AK.
  • Vậy, ΔAKM vuông tại M.

2. Chứng minh ΔADM cân và tính ∠ANB:

• Bước 1: Chứng minh ΔADM cân.
• • Ta có: AD = CD (vì ABCD là hình vuông) và CK = 1/2 CD.
  • Suy ra: AD = 2CK.
  • Xét ΔADE và ΔCDK:
  • • AE = CK (cmt).
    • AD = CD (cmt).
    • ∠DAE = ∠KCD = 90°.
    • Suy ra: ΔADE = ΔCDK (c.g.c).
    • Suy ra: DE = AK.
  • Xét ΔADM và ΔCDM:
  • • DM chung.
    • AD = CD (cmt).
    • ∠ADM = ∠CDM = 90°.
    • Suy ra: ΔADM = ΔCDM (c.g.c).
    • Suy ra: AM = CM.
  • Xét ΔAKM và ΔCEM:
  • • AM = CM (cmt).
    • KM chung.
    • AK = CE (vì DE = AK và CE = DE).
    • Suy ra: ΔAKM = ΔCEM (c.c.c).
    • Suy ra: ∠KAM = ∠ECM.
  • Xét ΔADM:
  • • ∠DAM = ∠ADM = 45° (vì ΔADE = ΔCDK).
    • Suy ra: ΔADM cân tại M.
• Bước 2: Tính ∠ANB.
• • Gọi I là giao điểm của AK và CD.
  • Xét ΔABI và ΔCDI:
  • • AB = CD (cmt).
    • ∠BAI = ∠CDI = 45°.
    • ∠ABI = ∠CDI = 45°.
    • Suy ra: ΔABI = ΔCDI (g.c.g).
    • Suy ra: AI = DI.
  • Xét ΔAND và ΔBNC:
  • • ∠ADN = ∠BCN = 45°.
    • AD = BC (cmt).
    • ∠DAN = ∠CBN (vì ΔABI = ΔCDI).
    • Suy ra: ΔAND = ΔBNC (g.c.g).
    • Suy ra: AN = BN.
  • Xét ΔANB:
  • • AN = BN (cmt).
    • Suy ra: ΔANB cân tại N.
    • ∠ANB = 180° - 2∠NAB = 180° - 2(45°) = 90°.

3. Chứng minh CF ≤ 2EF:

• Bước 1: Chứng minh CF là đường phân giác của ∠DCE.
• • Vì CF là tia phân giác của ∠DCE nên ∠DCF = ∠ECF.
• Bước 2: Chứng minh ΔCDF = ΔCEF.
• • Xét ΔCDF và ΔCEF:
  • • CF chung.
    • ∠DCF = ∠ECF (cmt).
    • CD = CE (vì CD = AB và CE = AB).
    • Suy ra: ΔCDF = ΔCEF (c.g.c).
    • Suy ra: DF = EF.
• Bước 3: Chứng minh CF ≤ 2EF.
• • Ta có: CF = DF + EF.
  • Suy ra: CF = EF + EF = 2EF.
  • Vậy, CF ≤ 2EF.