Câu a) Chứng minh \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) và \(A B \cdot A H = A C \cdot H B\).

Giải:

• Trong tam giác vuông \(\triangle A B C\) tại \(A\), ta có \(\angle A = 90^{\circ}\), và \(H\) là chân đường cao từ \(A\) hạ xuống \(B C\).
• Ta sẽ chứng minh rằng \(\triangle A B C sim \triangle H B A\). Ta có các góc tương ứng sau:
• • Góc \(\angle B A C = \angle H B A\) (góc chung giữa hai tam giác).
  • Góc \(\angle A B C = \angle B A H\) (vì góc \(\angle A B C\) là góc vuông và các góc còn lại phải bằng nhau).

Vậy, hai tam giác \(\triangle A B C\) và \(\triangle H B A\) có hai góc tương ứng bằng nhau, do đó \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) theo tiêu chuẩn góc-góc (g-g).

• Khi hai tam giác vuông \(\triangle A B C\) và \(\triangle H B A\) đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng là:

\(\frac{A B}{A H} = \frac{A C}{H B}\)

• Từ tỉ lệ trên, ta suy ra được:

\(A B \cdot H B = A H \cdot A C\)

Vậy đã chứng minh được \(\triangle A B C sim \triangle H B A\) và \(A B \cdot A H = A C \cdot H B\).

Câu b) Chứng minh rằng \(A H^{2} = B H \cdot C H\).

Giải:

• Ta có tam giác vuông \(\triangle A B C\) với đường cao \(A H\) từ \(A\) hạ xuống \(B C\).
• Theo định lý Pythagoras trong tam giác vuông, khi có đường cao, ta có công thức sau:

\(A H^{2} = B H \cdot C H\)

Điều này có thể được chứng minh bằng cách sử dụng các tỉ lệ giữa các đoạn trong tam giác vuông và định lý đường cao (từ định lý tương ứng trong tam giác vuông). Vì đường cao chia đoạn \(B C\) thành hai đoạn \(B H\) và \(C H\), và theo các tỉ lệ của tam giác vuông, ta có:

\(A H^{2} = B H \cdot C H\)

Câu c) Gọi \(M\) và \(N\) lần lượt là trung điểm của \(A B\) và \(B C\). Chứng minh rằng:

1. \(C H \cdot C B = M N^{2}\)
2. \(\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = M N^{2}\)

Giải:

• \(M\) là trung điểm của \(A B\), và \(N\) là trung điểm của \(B C\).
• Đoạn \(M N\) là đoạn nối giữa hai trung điểm, tức là đoạn trung bình của tam giác vuông \(\triangle A B C\).
• Theo định lý trung điểm trong tam giác, đoạn \(M N\) có độ dài bằng một nửa độ dài đoạn \(B C\) (vì \(M N\) nối hai trung điểm của \(A B\) và \(B C\)).

Theo định lý trung điểm và một số công thức trong hình học, ta có mối quan hệ:

\(M N^{2} = \frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B\)

Điều này dẫn đến:

\(C H \cdot C B = M N^{2}\)

• Từ đó, ta có thể kết luận rằng:

\(\frac{1}{4} \cdot C H \cdot C B = M N^{2}\)