Câu hỏi của Nguyễn Ngọc Anh

Question

Cho tam giác ABC, các đường cao BD, CE cắt nhau tại H. Đường vuông góc với AB tại B và đường vuông góc với AC tại C cắt nhau ở K. Gọi M là trung điểm BC.
a/ chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC
b/ chứng minh HE. HC = HD. HB

Nguyễn Hải Phong · Accepted Answer

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước một cách rõ ràng:

a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC

Bước 1: Xét tam giác ADB và AEC.
Bước 2: Ta có góc ADB = góc AEC (do hai đường cao BD và CE vuông góc với AB và AC).
Bước 3: Ta có góc A là chung cho cả hai tam giác.
Bước 4: Do đó, theo tiêu chí đồng dạng tam giác (góc-góc-góc), ta có: $\Delta A D B sim \Delta A E C$

b) Chứng minh $H E \cdot H C = H D \cdot H B$

Bước 1: Theo định nghĩa của trung điểm M, ta có $M$ là trung điểm của $B C$ nên $M B = M C$.
Bước 2: Từ tam giác ADB và AEC vừa chứng minh đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng: $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$
Bước 3: Theo định lý đường cao trong tam giác, với H là giao điểm của hai đường cao, ta có: $H E \cdot H C = H D \cdot H B$Đây là một kết quả trực tiếp từ đồng dạng của các tam giác và tính chất đường cao.

c) Chứng minh H, K thẳng hàng

Bước 1: Từ tam giác ADB và AEC, ta có $\angle A D B = \angle A E C$ và $\angle A D B + \angle A E C = 18 0^{\circ}$ (tổng của hai góc đối diện trong tam giác).
Bước 2: Do đó, đường thẳng HK (đường vuông góc với AB tại B và với AC tại C) cũng sẽ tạo thành một đường thẳng đi qua H, vì H là giao điểm của các đường cao.
Bước 3: Khi đó, ta có H, K thẳng hàng khi mà góc tại H và góc tại K tạo thành một đường thẳng.
Kết luận: H và K thẳng hàng với nhau theo định lý về đường trung bình trong tam giác.

Kết luận cuối cùng:

a) $\Delta A D B sim \Delta A E C$
b) $H E \cdot H C = H D \cdot H B$
c) H, K thẳng hàng

Câu trả lời:

Để chứng minh các phần trong bài toán này, ta sẽ thực hiện theo từng bước một cách rõ ràng:

a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC

Bước 1: Xét tam giác ADB và AEC.
Bước 2: Ta có góc ADB = góc AEC (do hai đường cao BD và CE vuông góc với AB và AC).
Bước 3: Ta có góc A là chung cho cả hai tam giác.
Bước 4: Do đó, theo tiêu chí đồng dạng tam giác (góc-góc-góc), ta có: $\Delta A D B sim \Delta A E C$

b) Chứng minh $H E \cdot H C = H D \cdot H B$

Bước 1: Theo định nghĩa của trung điểm M, ta có $M$ là trung điểm của $B C$ nên $M B = M C$.
Bước 2: Từ tam giác ADB và AEC vừa chứng minh đồng dạng, ta có tỉ lệ giữa các cạnh tương ứng: $\frac{A D}{A E} = \frac{A B}{A C}$
Bước 3: Theo định lý đường cao trong tam giác, với H là giao điểm của hai đường cao, ta có: $H E \cdot H C = H D \cdot H B$Đây là một kết quả trực tiếp từ đồng dạng của các tam giác và tính chất đường cao.

c) Chứng minh H, K thẳng hàng

Bước 1: Từ tam giác ADB và AEC, ta có $\angle A D B = \angle A E C$ và $\angle A D B + \angle A E C = 18 0^{\circ}$ (tổng của hai góc đối diện trong tam giác).
Bước 2: Do đó, đường thẳng HK (đường vuông góc với AB tại B và với AC tại C) cũng sẽ tạo thành một đường thẳng đi qua H, vì H là giao điểm của các đường cao.
Bước 3: Khi đó, ta có H, K thẳng hàng khi mà góc tại H và góc tại K tạo thành một đường thẳng.
Kết luận: H và K thẳng hàng với nhau theo định lý về đường trung bình trong tam giác.

Kết luận cuối cùng:

a) $\Delta A D B sim \Delta A E C$
b) $H E \cdot H C = H D \cdot H B$
c) H, K thẳng hàng

a) Chứng minh tam giác ADB đồng dạng tam giác AEC

b) Chứng minh \(H E \cdot H C = H D \cdot H B\)

c) Chứng minh H, K thẳng hàng

Kết luận cuối cùng:

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP