Câu hỏi của Ngô Đức Minh

Question

Cho A=$\frac89+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\ldots+\frac{10200}{10201}$ . Chứng minh rằng: A>99,75

Con nhờ thầy cô giáo hướng d...

Khiếu Vũ Bảo Long · Accepted Answer

Đây nhé, anh cũng không nhớ cách giải của lớp 6 đâu em ạ

Chúng ta có:

$A=\frac{8}{9}+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}$

Quan sát tỷ số của các phân số, ta nhận thấy mẫu chung của các số hạng:

$a_{n} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{n}{n + 1}$

Từ đó, ta có thể viết lại tổng:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \frac{n}{n + 1}$

Ta biết:

$\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì vậy, tổng trở thành:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \left(\right. 1 - \frac{1}{n + 1} \left.\right) = \sum_{n = 8}^{10200} 1 - \sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1}$

Tổng đầu tiên là:

$\sum_{n = 8}^{10200} 1 = 10200 - 8 + 1 = 10193$

Tổng thứ hai:

$\sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k}$

Vậy:

$A = 10193 - \left(\right. \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k} \left.\right)$

Hợp nhất tổng:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

trong đó, $H_{n}$ là số Heta (hàm tổng Heta):

$H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

Vì vậy:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

Lúc này, ta sử dụng xấp xỉ của số Heta:

$H_{n} \approx ln ⁡ \left(\right. n \left.\right) + \gamma + \frac{1}{2 n}$

gần đúng với từng phần tử.

Tính xấp xỉ:

$H_{10201} \approx ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) + \gamma , H_{8} \approx ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) + \gamma$

Các số này sẽ chồng chéo xoay quanh nhau, vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) - ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \left.\right)$

Tính log tự nhiên:

$ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 10200 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 102 \times 100 \left.\right) = ln ⁡ \left(\right. 102 \left.\right) + ln ⁡ \left(\right. 100 \left.\right) \approx 4.624 + 4.605 = 9.229$

Và

$ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \approx 2.079$

Vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. 9.229 - 2.079 \left.\right) = 10193 - 7.15 \approx 10185.85$

So sánh với yêu cầu chứng minh $A > 99.75$: rõ ràng đúng, vì A xấp xỉ 10186 lớn hơn 99.75 rất nhiều.

Kết luận:

$\boxed{A > 99.75}$Câu trả lời:

Đây nhé, anh cũng không nhớ cách giải của lớp 6 đâu em ạ

Chúng ta có:

$A=\frac{8}{9}+\frac{24}{25}+\frac{48}{49}+\cdots+\frac{10200}{10201}$

Quan sát tỷ số của các phân số, ta nhận thấy mẫu chung của các số hạng:

$a_{n} = \frac{n \left(\right. n + 1 \left.\right)}{\left(\right. n + 1 \left.\right)^{2}} = \frac{n}{n + 1}$

Từ đó, ta có thể viết lại tổng:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \frac{n}{n + 1}$

Ta biết:

$\frac{n}{n + 1} = 1 - \frac{1}{n + 1}$

Vì vậy, tổng trở thành:

$A = \sum_{n = 8}^{10200} \left(\right. 1 - \frac{1}{n + 1} \left.\right) = \sum_{n = 8}^{10200} 1 - \sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1}$

Tổng đầu tiên là:

$\sum_{n = 8}^{10200} 1 = 10200 - 8 + 1 = 10193$

Tổng thứ hai:

$\sum_{n = 8}^{10200} \frac{1}{n + 1} = \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k}$

Vậy:

$A = 10193 - \left(\right. \sum_{k = 9}^{10201} \frac{1}{k} \left.\right)$

Hợp nhất tổng:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

trong đó, $H_{n}$ là số Heta (hàm tổng Heta):

$H_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$

Vì vậy:

$A = 10193 - \left(\right. H_{10201} - H_{8} \left.\right)$

Lúc này, ta sử dụng xấp xỉ của số Heta:

$H_{n} \approx ln ⁡ \left(\right. n \left.\right) + \gamma + \frac{1}{2 n}$

gần đúng với từng phần tử.

Tính xấp xỉ:

$H_{10201} \approx ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) + \gamma , H_{8} \approx ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) + \gamma$

Các số này sẽ chồng chéo xoay quanh nhau, vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) - ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \left.\right)$

Tính log tự nhiên:

$ln ⁡ \left(\right. 10201 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 10200 \left.\right) \approx ln ⁡ \left(\right. 102 \times 100 \left.\right) = ln ⁡ \left(\right. 102 \left.\right) + ln ⁡ \left(\right. 100 \left.\right) \approx 4.624 + 4.605 = 9.229$

Và

$ln ⁡ \left(\right. 8 \left.\right) \approx 2.079$

Vì vậy:

$A \approx 10193 - \left(\right. 9.229 - 2.079 \left.\right) = 10193 - 7.15 \approx 10185.85$

So sánh với yêu cầu chứng minh $A > 99.75$: rõ ràng đúng, vì A xấp xỉ 10186 lớn hơn 99.75 rất nhiều.

Kết luận:

$\boxed{A > 99.75}$

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP