a/

Xét tg ABM và tg ACM có

MB=MC (đề bài)

AB=AC (Do tg ABC cân tại A)

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) (Do tg ABC cân tại A)

=> tg ABM=tg ACM (c.g.c)

Ta có MB=MC => AM là trung tuyến của tg ABC => \(AM\perp BC\) (trong tg cân đường trung tuyến đồng thời là đường cao)

b/

Xét tg vuông BME và tg vuông CMF có

MB=MC

\(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\)

=> tg BME = tg CMF (hai tg vuông có cạnh huyền và góc nhọn tương ứng bằng nhau) => ME=MF => tg EMF cân tại M

c/

Do \(AM\perp BC\Rightarrow\widehat{AMB}=\widehat{AMC}=90^o\)

Do tg BME = tg CMF \(\Rightarrow\widehat{BME}=\widehat{CME}\)

\(\Rightarrow\widehat{AME}=\widehat{AMF}\) (cungf phụ với \(\widehat{BME}\) = \(\widehat{CMF}\) )

=> AM là phân giác của \(\widehat{FME}\Rightarrow AM\perp EF\)  (Trong tg can EMF đường phân giác đồng thời là đường cao)

Mà \(AM\perp BC\)

=> EF//BC (cùng vuông góc với AM)

a) Xét tam giác ABM và tam giác ACM có:

AM cạnh chung

AB=AC( tam giác ABC cân tại A )

MB=MC (gt)

Suy ra tam giác ABM= tam giác ACM (c-c-c)

b) AM- đường trung tuyến của tam giác ABC (gt)

Và K trọng tâm của tam giác ABC

Suy ra K thuộc AM

Suy ra A,K,M thẳng hàng

Bài 1:

Gọi M là trung điểm của BC

Vẽ BE là tia phân giác của góc B, E  thuộc AC

nối M với E

ta có: BM =CM  = 1/2.BC ( tính chất trung điểm)

AB=1/2.BC (gt)

=> BM = CM=  AB ( =1/2.BC)

Xét tam giác ABE và tam giác MBE

có: AB = MB (chứng minh trên)

góc ABE = góc MBE (gt)

BE là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta ABE=\Delta MBE\left(c-g-c\right)\)

=> góc BAE = góc BME = 90 độ ( 2 cạnh tương ứng)

=> góc BME = 90 độ

\(\Rightarrow BC\perp AM⋮M\)

Xét tam giác BEM vuông tại M và tam giác CEM vuông tại M

có: BM=CM(gt)

EM là cạnh chung

\(\Rightarrow\Delta BEM=\Delta CEM\left(cgv-cgv\right)\)

=> góc EBM = góc ECM ( 2 cạnh tương ứng)

mà góc EBM = góc ABE = 1/2. góc B (gt)

=> góc EBM = góc ABE = góc ECM

Xét tam giác ABC vuông tại A
có: \(\widehat{B}+\widehat{ECM}=90^0\) ( 2 góc phụ nhau)

=> góc EBM + góc ABE + góc ECM = 90 độ

=> góc ECM + góc ECM + góc ECM = 90 độ

=> 3.góc ECM = 90 độ

góc ECM = 90 độ : 3

góc ECM = 30 độ

=> góc C = 30 độ

Bạn tự vẽ hình nha!

a)Ta có:

Vì tam giác ABC có các cạnh đều =10 => tam giác ABC là tam giác đều 

=>góc ABC=gócACB=gocsBAC=180độ/3=60độ

Mà góc yAB+góc BAC+góc CAM=180 độ (các góc kề bù)

=>90 độ +60 độ+góc CAM=180 độ

=>góc CAM=180 độ - 90 độ-60 độ=30 dộ

Vì góc ACB là góc ngoài của tam giác ACM nên góc ACB=góc CAM+góc CMA

=>30 độ + góc CMA=60 độ

=>góc CMA=30 độ

xét tam giác CAM có : góc AMC = góc CAM ( =30 độ )

=> tam giác CAM cân tại C

b)Ta có :

Vì AH\(⊥\)BC                                     

và A cách đều B và C ( AB = AC )

=>AH là đường trung trực của BC =>HB=HC

Vì HM=HC+CM mà HB=HC

=> HM=HB+CM  => HM>HB

VÌ HB là hình chiếu của IB trên BM

và HM là hình chiếu của IM trên BM

Mà HM>HB=>IM>IB ( quan hệ giữa đường xiên và hình chiếu )

c)Vì ABC là tam giác đều =>ABC cx là tam gics cân

Mà trong tam giác cân , đường trung tuyến ứng vs cạnh đáy cx đồng thời là đường phân giác của tam giác đó nên AH là đường phân giác của góc BAC

=> góc BAH= góc HAC=góc BAC/2=60 độ /2 = 30 độ 

Xét 2 tam giác vuông HAC và tam giác vuông NAC có :

         AC chung

        góc HAC = góc CAM ( = 30 độ )

=>tam giác vuông HAC = tam giác vuông NAC =>AH = AN ( 2 cạnh tương ứng )

=>tam giác AHN cân tại A

còn tính HN thì m k bs

KB vs m nha!