Câu hỏi của Thầy Cao Đô

Question

Cho đường tròn $(O)$ có đường kính $AB$. Gọi $M$ là một điểm thuộc đường tròn ($M$ khác $A$ và $B$). Tiếp tuyến đi qua $M$ cắt tiếp tuyến đi qua $B$ tại điểm $K$.

a) Chứng...

Ân Hà My · Accepted Answer

a) Ta có $M K$, $B K$ là các tiếp tuyến của $\left(\right. O \left.\right)$

Suy ra $\hat{O M K} = \hat{O B K} = 9 0^{\circ}$ (tính chất tiếp tuyến)

Suy ra $\Delta M K O$ vuông tại $M$, $\Delta O B K$ vuông tại $B$.

Dựng đường trung tuyến $M I$, $B I$ lần lượt trong $\Delta M K O , \Delta O B K$ với $I$ là trung điểm của $O K$.

Suy ra $I M = I O = I K = I B = \frac{1}{2} O K$ (tính chất đường trung tuyến trong tam giác vuông)

Suy ra các điểm $M$, $O$, $K$, $B$ đều nằm trên đường tròn $\left(\right. I \left.\right)$

Vậy tứ giác $M O B K$ là tứ giác nội tiếp.

b) Ta có $M K$, $B K$ là các tiếp tuyến của $\left(\right. O \left.\right)$ cắt nhau tại $K$.

Suy ra $K M = K B$ (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Mà $K O$ là phân giác của $\hat{M K B}$

Suy ra $K O$ đồng thời là đường cao trong $\Delta M K B$.

Vậy $O K ⊥ M B$

c)Chứng minh $\hat{E M K} = \hat{M F E}$

Ta có $O M = O E$ nên $\Delta O M E$ cân tại $O$.

Dựng đường cao $O P$ của $\Delta O M E$

Suy ra $\Delta O P M$ vuông tại $P$

Do đó $\hat{P M O} + \hat{M O P} = 9 0^{\circ}$

Mà $\hat{P M O} + \hat{E M K} = 9 0^{\circ}$ ($M K$ là tiếp tuyến của đường tròn $\left(\right. O \left.\right)$)

Suy ra $\hat{M O P} = \hat{E M K}$

Mặt khác $O P$ là đường cao đồng thời là đường phân giác trong $\Delta O M E$

Ta có: $\hat{M O P} = \hat{E M K} = \frac{1}{2} \hat{M O E}$ (1)

Ta thấy $\hat{M F E}$ và $\hat{M O E}$ lần lượt là góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn cung $M E$.

Suy ra $\hat{M F E} = \frac{1}{2} \hat{M O E}$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $\hat{E M K} = \hat{M F E}$ (đpcm)

*) Chứng minh $\hat{O F E} = \hat{E H K}$

Xét $\Delta O M K$ và $\Delta M H K$ có:

$\hat{O M K} = \hat{M H K} = 9 0^{\circ}$

$\hat{M K O}$ chung

Suy ra $\Delta O M K sim \Delta M H K$ (g.g)

Suy ra $\frac{O K}{M K} = \frac{M K}{H K}$ hay $M K^{2} = O K . H K$ (1)

Xét $\Delta M E K$ và $\Delta F M K$ có:

$\hat{E M K} = \hat{M F E}$ (cmt)

$\hat{E K M}$ chung

Suy ra $\Delta M E K sim \Delta F M K$ (g.g)

Suy ra $\frac{E K}{M K} = \frac{M K}{F K}$ hay $M K^{2} = E K . F K$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra $O K . H K = E K . F K$ hay $\frac{K F}{H K} = \frac{O K}{E K}$

Xét $\Delta O F K$ và $\Delta E H K$ có:

$\frac{K F}{H K} = \frac{O K}{E K}$ (cmt)

$\hat{O K F}$ chung

Suy ra $\Delta O F K sim \Delta E H K$ (c.g.c)

Vậy $\hat{O F E} = \hat{E H K}$ (hai góc tương ứng) (đpcm).

Câu trả lời: