Câu hỏi của Thầy Cao Đô

Question

Bài 4. (2,5 điểm) Cho tam giác $K B C$ vuông tại $K$ ($K B < K C$). Tia phân giác của $\widehat{B}$ cắt cạnh $K C$ tại $H$. Qua $C$ vẽ đường thẳng vuông góc với tia $BH$ cắt đường thẳng $BH$ tại...

Kiều Vũ Linh · Accepted Answer

a) Xét hai tam giác vuông: $\Delta BHK$ và $\Delta CHI$ có:

$\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(g-g\right)$

b) Do $BH$ là tia phân giác của $\widehat{KBC}$ (gt)

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBH}$

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBI}$ (1)

Do $\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(cmt\right)$

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{ICH}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{ICH}=\widehat{CBI}$

Xét hai tam giác vuông: $\Delta CIB$ và $\Delta HIC$ có:

$\widehat{CBI}=\widehat{ICH}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow\Delta CIB$ ∽ $\Delta HIC\left(g-g\right)$

$\Rightarrow\dfrac{CI}{IH}=\dfrac{IB}{CI}$

$\Rightarrow CI^2=IH.IB$

c) Do $CI\perp BH$ tại $I$ (gt)

$\Rightarrow BI\perp AC$

$\Rightarrow BI$ là đường cao của $\Delta ABC$

Lại có:

$CK\perp KB\left(gt\right)$

$\Rightarrow CK\perp AB$

$\Rightarrow CK$ là đường cao thứ hai của $\Delta ABC$

Mà H là giao điểm của $BI$ và $CK$ (gt)

$\Rightarrow AH$ là đường cao thứ ba của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AD\perp BC$

Xét hai tam giác vuông: $\Delta BKH$ và $\Delta BDH$ có:

$BH$ là cạnh chung

$\widehat{KBH}=\widehat{DBH}$ (do BH là tia phân giác của $\widehat{B}$)

$\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BDH$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BK=BD$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow B$ nằm trên đường trung trực của DK (3)

Do $\Delta BKH=\Delta BDH\left(cmt\right)$

$\Rightarrow HK=HD$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow H$ nằm trên đường trung trực của DK (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow BH$ là đường trung trực của DK

$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{BHK}=90^0$

Mà $\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (cmt)

$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (*)

$\Delta ABC$ có:

$BH$ là đường phân giác (cmt)

$BH$ cũng là đường cao (cmt)

$\Rightarrow\Delta ABC$ cân tại B

$\Rightarrow BH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AC

$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến của $\Delta AKC$

$\Delta AKC$ vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

$\Rightarrow KI=IC=IA=\dfrac{AC}{2}$

$\Rightarrow\Delta IKC$ cân tại $I$

$\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{ICK}$

$\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{ICH}$

Mà $\widehat{ICH}+\widehat{CHI}=90^0$

$\Rightarrow\widehat{IKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{DKH}$

$\Rightarrow KH$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$

Hay $KC$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$

Câu trả lời:

a) Xét hai tam giác vuông: $\Delta BHK$ và $\Delta CHI$ có:

$\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (đối đỉnh)

$\Rightarrow\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(g-g\right)$

b) Do $BH$ là tia phân giác của $\widehat{KBC}$ (gt)

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBH}$

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{CBI}$ (1)

Do $\Delta BHK$ ∽ $\Delta CHI\left(cmt\right)$

$\Rightarrow\widehat{KBH}=\widehat{ICH}$ (2)

Từ (1) và (2) $\Rightarrow\widehat{ICH}=\widehat{CBI}$

Xét hai tam giác vuông: $\Delta CIB$ và $\Delta HIC$ có:

$\widehat{CBI}=\widehat{ICH}\left(cmt\right)$

$\Rightarrow\Delta CIB$ ∽ $\Delta HIC\left(g-g\right)$

$\Rightarrow\dfrac{CI}{IH}=\dfrac{IB}{CI}$

$\Rightarrow CI^2=IH.IB$

c) Do $CI\perp BH$ tại $I$ (gt)

$\Rightarrow BI\perp AC$

$\Rightarrow BI$ là đường cao của $\Delta ABC$

Lại có:

$CK\perp KB\left(gt\right)$

$\Rightarrow CK\perp AB$

$\Rightarrow CK$ là đường cao thứ hai của $\Delta ABC$

Mà H là giao điểm của $BI$ và $CK$ (gt)

$\Rightarrow AH$ là đường cao thứ ba của $\Delta ABC$

$\Rightarrow AD\perp BC$

Xét hai tam giác vuông: $\Delta BKH$ và $\Delta BDH$ có:

$BH$ là cạnh chung

$\widehat{KBH}=\widehat{DBH}$ (do BH là tia phân giác của $\widehat{B}$)

$\Rightarrow\Delta BKH=\Delta BDH$ (cạnh huyền - góc nhọn)

$\Rightarrow BK=BD$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow B$ nằm trên đường trung trực của DK (3)

Do $\Delta BKH=\Delta BDH\left(cmt\right)$

$\Rightarrow HK=HD$ (hai cạnh tương ứng)

$\Rightarrow H$ nằm trên đường trung trực của DK (4)

Từ (3) và (4) $\Rightarrow BH$ là đường trung trực của DK

$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{BHK}=90^0$

Mà $\widehat{BHK}=\widehat{CHI}$ (cmt)

$\Rightarrow\widehat{DKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (*)

$\Delta ABC$ có:

$BH$ là đường phân giác (cmt)

$BH$ cũng là đường cao (cmt)

$\Rightarrow\Delta ABC$ cân tại B

$\Rightarrow BH$ là đường trung trực của $\Delta ABC$

$\Rightarrow I$ là trung điểm của AC

$\Rightarrow KI$ là đường trung tuyến của $\Delta AKC$

$\Delta AKC$ vuông tại K có KI là đường trung tuyến ứng với cạnh huyền AC

$\Rightarrow KI=IC=IA=\dfrac{AC}{2}$

$\Rightarrow\Delta IKC$ cân tại $I$

$\Rightarrow\widehat{IKC}=\widehat{ICK}$

$\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{ICH}$

Mà $\widehat{ICH}+\widehat{CHI}=90^0$

$\Rightarrow\widehat{IKH}+\widehat{CHI}=90^0$ (**)

Từ (*) và (**) $\Rightarrow\widehat{IKH}=\widehat{DKH}$

$\Rightarrow KH$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$

Hay $KC$ là tia phân giác của $\widehat{IKD}$

Phan Minh Ngọc · Answer

loading...

a) Vì tam giác $K BC$ vuông tại $K$ suy ra $𝐾𝐵𝐻^=90∘$

Vì $C I ⊥ B I$ (gt) suy ra $𝐶𝑙𝐻^=90∘$

Xét $△ K B H$ và $△ C H I$ có:

$𝐾𝐵𝐻^=𝐶𝐼𝐻^=90∘$ ;

$𝐵𝐻𝐾^=𝐶𝐻𝐼^$ (đối đỉnh)

Suy ra $Δ B HK ∽ Δ C H I$ (g.g)

b) Ta có $Δ B HK ∽ Δ C H I$ suy ra $𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐶𝐼^$ (hai góc tương ứng)

Mà $B H$ là tia phân giác của $𝐴𝐵𝐶^$ nên $𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐵𝐶^$ .

Do đó $𝐻𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^$ .

Xét $△ C I B$ và $△ H I C$ có:

$𝐶𝐼𝐵^$ chung;

$𝐼𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^$ (cmt)

Vậy $Δ C I B \approx Δ H I C$ (g.g) suy ra $H I C I = I C I B$

Hay $C I^{2} = H I . I B$

c) Xét $△ A BC$ có $B I ⊥ A C$ ; $C K ⊥ A B$ ; $B I \cap C K = {H}$

Nên $H$ là trực tâm $△ A BC$ suy ra $A H ⊥ BC$ tại $D$ .

Từ đó ta có $△ B K C ∽ △ HD C$ (g.g) nên $C H CB = C D C K$

Suy ra $C K CB = C D C H$ nên $△ B H C ∽ △ KD C$ (c.g.c)

Khi đó $𝐻𝐵𝐶^=𝐷𝐾𝐶^$ (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự $𝐻𝐴𝐶^=𝐼𝐾𝐶^$

Mà $𝐻𝐴𝐶^=𝐻𝐵𝐶^$ (cùng phụ $𝐴𝐶𝐵^$ )

Suy ra $𝐷𝐾𝐶^=𝐼𝐾𝐶^$ .

Vậy $K C$ là tia phân giác của $𝐼𝐾𝐷^$ .

Câu trả lời:

loading...

a) Vì tam giác $K BC$ vuông tại $K$ suy ra $𝐾𝐵𝐻^=90∘$

Vì $C I ⊥ B I$ (gt) suy ra $𝐶𝑙𝐻^=90∘$

Xét $△ K B H$ và $△ C H I$ có:

$𝐾𝐵𝐻^=𝐶𝐼𝐻^=90∘$ ;

$𝐵𝐻𝐾^=𝐶𝐻𝐼^$ (đối đỉnh)

Suy ra $Δ B HK ∽ Δ C H I$ (g.g)

b) Ta có $Δ B HK ∽ Δ C H I$ suy ra $𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐶𝐼^$ (hai góc tương ứng)

Mà $B H$ là tia phân giác của $𝐴𝐵𝐶^$ nên $𝐻𝐵𝐾^=𝐻𝐵𝐶^$ .

Do đó $𝐻𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^$ .

Xét $△ C I B$ và $△ H I C$ có:

$𝐶𝐼𝐵^$ chung;

$𝐼𝐵𝐶^=𝐻𝐶𝐼^$ (cmt)

Vậy $Δ C I B \approx Δ H I C$ (g.g) suy ra $H I C I = I C I B$

Hay $C I^{2} = H I . I B$

c) Xét $△ A BC$ có $B I ⊥ A C$ ; $C K ⊥ A B$ ; $B I \cap C K = {H}$

Nên $H$ là trực tâm $△ A BC$ suy ra $A H ⊥ BC$ tại $D$ .

Từ đó ta có $△ B K C ∽ △ HD C$ (g.g) nên $C H CB = C D C K$

Suy ra $C K CB = C D C H$ nên $△ B H C ∽ △ KD C$ (c.g.c)

Khi đó $𝐻𝐵𝐶^=𝐷𝐾𝐶^$ (hai góc tương ứng)

Chứng minh tương tự $𝐻𝐴𝐶^=𝐼𝐾𝐶^$

Mà $𝐻𝐴𝐶^=𝐻𝐵𝐶^$ (cùng phụ $𝐴𝐶𝐵^$ )

Suy ra $𝐷𝐾𝐶^=𝐼𝐾𝐶^$ .

Vậy $K C$ là tia phân giác của $𝐼𝐾𝐷^$ .

Bảng xếp hạng

Các khóa học có thể bạn quan tâm

Yêu cầu VIP